Как определить зависимость/независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий

Самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение: вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события:
– 1-й стрелок попадёт в мишень;
– 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию: .

Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Способ первый: событие состоит в 2-х несовместных исходах: попадёт кто-то один (событие ) или попадут оба стрелка, обозначим последнее событие буквой . Таким образом:

По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-ой стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй: рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей несовместных событий:

В результате:

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Способ третий: события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
, что и требовалось проверить.

Ответ:

При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Cократим запись:

Решение: по условию: , – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:

а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.

б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.

Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Ответ:

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.

Похожие задачи для самостоятельного решения:

Задача 6

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу, найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения).

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.

Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с 2-мя монетами)

Задача 7

Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?

Задача 8

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.

Решение: коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков.

По аналогии с Задачей №5, здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:

По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.

б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:

1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует
или:
2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует
или:
3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.

Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение

в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события:
– того, что хотя бы один станок потребует настройки.

Ответ:

Задача 9

Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.

Задача 10

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение: обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события:
– при 3-х выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

– вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ: 0,7

Решения и ответы:

Задача 2: Решение:всего: 10 + 6 = 16 пуговиц в коробке.
способами можно извлечь 2 пуговицы из коробки;
способами можно извлечь 2 красные пуговицы;
способами можно извлечь 2 синие пуговицы.
По классическому определению:
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две красные пуговицы;
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две синие пуговицы.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две одноцветные пуговицы.
Ответ: 0,5

Задача 4: Решение: рассмотрим события: – из 1-й, 2-й и 3-й урны соответственно будет извлечён белый шар. По классическому определению вероятности:

вероятности:

Тогда вероятности извлечения чёрного шара из соответствующих урн равны:

а) Рассмотрим событие: – из каждой урны будет извлечено по 1-му белому шару.
Данное событие выражается в виде произведения (из 1-й урны будет извлечён БШ и из 2-ой урны будет извлечён БШ и из 3-й урны будет извлечён БШ).
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

б) Рассмотрим событие – из каждой урны будет извлечено по 1-му чёрному шару.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Рассмотрим событие – все три шара будут одного цвета. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: (будут извлечены 3 белых или 3 чёрных шара)
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Ответ:

Задача 6: Решение: рассмотрим следующие события:
– при возгорании сработает 1-й датчик;
– при возгорании сработает 2-й датчик.
По условию:
Вычислим вероятности противоположных событий:

а) Рассмотрим событие: – при пожаре оба датчика откажут.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

б) Рассмотрим событие: – при пожаре оба датчика сработают.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

в) Рассмотрим событие: – при пожаре сработает только один датчик.
События образуют полную группу, следовательно:

Проверим результат с помощью прямого вычисления. Событие состоит в 2-х несовместных исходах: 1-й датчик сработает и 2-й откажет или 1-ый откажет и 2-й сработает. Таким образом: .
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

Ответ:

Задача 7: Решение: по условию: – вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле. Тогда вероятность его промаха:

Обозначим через – вероятности попадания и промаха 2-го стрелка.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.
По условию , таким образом:

В результате:
Ответ: 0,6

Задача 9: Решение: по условию – вероятности попадания в цель из соответствующих орудий. Тогда соответствующие вероятности промаха:

1) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что будет три промаха.
Тогда: – вероятность того, что хотя бы один снаряд попадет в цель.

2) Событие «только два снаряда попадут в цель» состоит в трёх несовместных исходах:
попадание из 1-го и 2-го орудий и промах из 3-го или
попадание из 1-го и промах из 2-го и попадание из 3-го орудия или
промах из 1-го и попадание из 2-го и 3-го орудий.
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что только два снаряда попадут в цель.

3) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что все три снаряда попадут в цель.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что цель будет поражена не менее двух раз

Ответ: