Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению
, где:
– общее число всех равновозможных, элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий;
– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию
.
Задача 1
В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.
Решение: важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов.
Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:
– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов), при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30-ти шаров).
Таким образом, общее число исходов:
Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют
элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.
Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара ». В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь
следует обязательно прописать!
С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:
– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.
Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию
– 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:
Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице:
.
Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.
Ответ:
На практике распространён «скоростной» вариант оформления решения:
Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.
Ответ:
Задача 2
В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?
Задача 3
Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.
Примечание: ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)
Решение: сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов. То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
И подсчитываем их – всего: 10 исходов.
Благоприятствующий исход один: верный номер.
По классическому определению:
– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер
Ответ: 0,1
Продвинутая задача для самостоятельного решения:
Задача 4
Абонент забыл пин – код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?
Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока
Решение и ответ внизу.
Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – большее количество):
Задача 5
Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:
а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3-х до 9 очков включительно.
Решение: найдём общее количество исходов:
способами может выпасть грань 1-го кубика и
способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций, всего:
возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде
, где
– цифра, выпавшая на 1-м кубике,
– цифра, выпавшая на 2-м кубике.
Например:
– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.
Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».
а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:
Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
– искомая вероятность.
б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4-х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:
Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
– вероятность того, что выпадет не более 4-х очков.
в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3-х до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.
Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие: – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.
В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:
Итого: 7 благоприятствующих исходов.
По классическому определению:
– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9-ти очков.
Далее пользуемся тем, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
– вероятность того, что выпадет от 3-х до 9 очков включительно.
Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.
Ответ:
В следующей задаче повторим таблицу умножения:
Задача 6
Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:
а) будет равно семи;
б) окажется не менее 20-ти;
в) будет чётным.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Задача 7
В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:
а) они выйдут на разных этажах;
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.
Решение: вычислим общее количество исходов: способами может выйти из лифта 1-й пассажир и
способами – 2-й пассажир и
способами – третий пассажир. По правилу умножения комбинаций:
возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.
Второй способ основан на размещениях с повторениями:
– кому как понятнее.
а) Рассмотрим событие: – пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле
проведите самостоятельно.
По классическому определению:
в) Рассмотрим событие: – пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют
исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность:
.
Заходим с чёрного хода:
б) Рассмотрим событие: – два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий – на другом).
События образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет, а значит,
.
В результате, искомая вероятность:
Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу, может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!
Ответ:
Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4-х знаков после запятой.
Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:
, что и требовалось проверить.
Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.
Самостоятельно:
Задача 8
Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:
а) на всех монетах выпадет орёл;
б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка;
в) орёл выпадет на половине монет.
Задача 9
На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?
Решение: с общим количеством исходов проблем не возникает:
способами могут рассесться 7 человек на скамейке.
Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь – это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:
Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё – для каждого из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах
способами и для каждой такой перестановки других людей можно переставить
способами.
Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит благоприятствующих исходов.
Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой пары соседних мест:
Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место), то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов:
По классическому определению:
– вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.
Ответ:
Задача 10
На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?
Справка: шахматная доска имеет размер клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали
Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое – когда расставляешь фигуры собственными руками.
Задача 11
Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?
Решение: коль скоро неизвестный автор умолчал о колоде, будем считать, что в ней 36 карт. Ну а зачем нам больше?
Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний:
способами можно выбрать 4 карты из колоды.
Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4-х карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, – две другие карты:
способами можно извлечь одного туза;
способами можно выбрать одного короля.
Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 – 4 – 4 = 28
способами можно извлечь две другие карты.
По правилу умножения комбинаций:
способами можно извлечь искомую комбинацию карт (1-го туза и 1-го короля и две другие карты).
Прокомментирую комбинационный смысл записи другим способом:
каждый туз комбинируется с каждым королем и с каждой возможной парой других карт.
По классическому определению:
– вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.
Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.
Ответ:
Более простая задача для самостоятельного решения:
Задача 12
В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали.
Найти вероятность того, что:
а) обе детали будут качественными;
б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной;
в) обе детали бракованны.
События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!
Задача 13
Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?
Решение: итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:
способами можно выбрать 3 вопроса из 60-ти (общее количество исходов).
Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:
способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;
способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.
По правилу сложения комбинаций:
способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3-х вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами).
По классическому определению:
– вероятность того, что студент сдаст экзамен.
Ответ:
Задача 14
Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что:
а) среди этих карт будет пара десяток и пара валетов;
б) игроку будет сдан флеш (5 карт одной масти);
в) игроку будет сдано каре (4 карты одного номинала).
Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?
! Внимание! Если в условии задан подобный вопрос, то на него необходимо дать ответ.
Справка: в покер традиционно играют 52-х карточной колодой, которая содержит карты 4-х мастей номиналом от «двоек» до тузов.
Покер – игра самая что ни на есть математическая (кто играет, тот знает), в которой можно обладать заметным преимуществом перед менее квалифицированными соперниками.
Решения и ответы:
Задача 2: Решение: 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.
По классическому определению:
– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ:
Задача 4: Решение: найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4-х мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов:
.
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ:
Задача 6: Решение: найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2-х кубиках.
Задача 6: Решение: найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2-х кубиках.
а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:
, т.е. это событие является невозможным.
б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20-ти. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:
Итого: 8
По классическому определению:
– искомая вероятность.
в) Рассмотрим противоположные события:
– произведение очков будет чётным;
– произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :
Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
– искомая вероятность.
Ответ:
Задача 8: Решение: вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 2 монеты.
Другой путь: способами может упасть 1-ая монета и
способами может упасть 2-ая монета и … и
способами может упасть 10-ая монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть
способами.
а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности:
.
б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности:
.
в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ:
Задача 10: Решение: вычислим общее количество исходов:
способами можно расставить двух ладей на доске.
Другой вариант оформления: способами можно выбрать две клетки шахматной доски и
способами поставить белую и чёрную ладью в каждом из 2016 случаев. Таким образом, общее число исходов:
.
Теперь подсчитаем исходы, в которых ладьи «бьют» друг друга. Рассмотрим 1-ую горизонталь. Очевидно, что фигуры можно расставить на ней произвольным образом, например, так:
Кроме того, ладей можно переставить. Придаём рассуждениям числовую форму: способами можно выбрать две клетки и
способами переставить ладей в каждом из 28 случаев. Всего:
возможных расположений фигур на горизонтали.
Короткая версия оформления: способами можно разместить белую и чёрную ладью на 1-й горизонтали.
Проведённые рассуждения справедливы для каждой горизонтали, поэтому количество комбинаций следует умножить на восемь: . Кроме того, аналогичная история справедлива для любой из восьми вертикалей. Вычислим итоговое количество расстановок, в которых фигуры «бьют» друг друга:
Тогда в оставшихся вариантах расстановки ладьи не будут «бить» друг друга:
4032 – 896 = 3136
По классическому определению вероятности:
– вероятность того, что наугад поставленные на доску белая и чёрная ладья не будут «бить» друг друга.
Ответ:
Задача 12: Решение: всего: 15 + 5 = 20 деталей в ящике. Вычислим общее число исходов:
способами можно извлечь 2 детали из ящика.
а) Рассмотрим событие: – обе извлечённые детали будут качественными.
способами можно извлечь 2 качественные детали.
По классическому определению вероятности:
б) Рассмотрим событие: – одна деталь будет качественной, а одна – бракованной.
способами можно извлечь 1 качественную деталь и 1 бракованную.
По классическому определению:
в) Рассмотрим событие: – обе извлечённые детали бракованны.
способами можно извлечь 2 бракованные детали.
По классическому определению:
Проверка: вычислим сумму вероятностей событий, образующих полную группу: , что и требовалось проверить.
Ответ:
Задача 14: Решение: найдём общее число исходов:
способами можно сдать 5 карт.
а) способами можно сдать две десятки;
способами можно сдать 2-х валетов;
Количество других карт в колоде: 52 – 4 – 4 = 44
способами можно сдать другую карту.
По правилу умножения комбинаций:
способами можно сдать 5 карт, среди которых будет пара десяток и пара валетов.
По классическому определению:
б) В колоде: 52 / 4 = 13 карт каждой масти.
способами можно сдать 5 карт какой-то одной из мастей.
По правилу сложения комбинаций:
способами можно сдать флеш (без разницы какой масти).
По классическому определению:
в) Четыре карты одного номинала можно сдать 13-ю способами (2222, 3333, 4444, …, КККК, ТТТТ). Кроме того, для каждого из этих 13-ти случаев пятую карту можно сдать способами. Таким образом, по теореме умножения комбинаций, каре можно сдать
способами.
По классическому определению:
Ответ:
Из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить флеш.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий или
(без разницы какого), равна сумме вероятностей этих событий:
Аналогичный факт справедлив и для большего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий и
:
Следует отметить, что для совместных событий равенство будет неверным. Теорема сложения вероятностей совместных событий имеет гораздо меньшее значение практики, поэтому о ней чуть позже.
А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие учёбы – игральный кубик с полной группой событий , которые состоят в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.
Рассмотрим событие – в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:
(выпадет 5 или 6 очков). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.
Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4-х очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
По той же теореме, вероятность того, что выпадет нечётное число очков:
и так далее.
«Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?»
В той задаче мы сначала нашли (количество всех возможных сочетаний трёх вопросов), затем вычислили
количество благоприятствующих исходов и вероятность
того, что студент сдаст экзамен.
Но здесь вместо правила сложений комбинаций в ходу и другая схема рассуждений. Рассмотрим два несовместных события:
– студент ответит на 2 вопроса из 3-х;
– студент ответит на все три вопроса.
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца осознали суть несовместности. Вдумаемся ещё раз: студент не может ответить на 2 вопроса из 3-х и в то же самое время ответить на все 3 вопроса. Таким образом, события и
– несовместны.
Теперь, пользуясь классическим определением, найдём их вероятности:
Факт успешной сдачи экзамена выражается суммой (ответ на 2 вопроса из 3-х или на все вопросы). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что студент сдаст экзамен.
Этот способ решения совершенно равноценен, выбирайте, какой больше нравится.
Задача 1
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.
Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.
В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.
По теореме сложения несовместных событий:
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.
Ответ: 0,55
Безусловно, задача разрешима и чисто через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта кол-ва благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.
Задача 2
В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?
Аналогично – здесь можно использовать комбинаторное правило суммы, но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий!