Центр параллельных сил

Рассмотрим две параллельные, направленные в одну сторону силы ₁, и ₂,, приложенные к телу в точках А ₁ и А ₂ (рис. 6.1). Эта система сил имеет равнодействующую = ₁+ ₂, линия действия которой проходит через некоторую точку С, лежащую на прямой A ₁ A ₂. Положение точки С можно найти с помощью теоремы Вариньона: .

Рис. 6.1

Если повернуть силы ₁ и ₂ около точек А ₁ и А ₂ в одну сторону и на один и тот же угол, то получим новую систему параллельных сал, имеющих те же модули. При этом их равнодействующая будет также проходить через точку С, и для нее будет сохраняться вышеуказанное равенство. Такая точка называется центром параллельных сил.

Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил ₁, ₂, ₃,.. _n, приложенных к твердому телу в точках А ₁, А ₂, А ₃ ,… А_n (рис. 6.2). Эта система имеет равнодействующую .

Если каждую силу системы повернуть около точек их приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то получатся новые сис­темы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями иточками приложения. Равнодействующая таких систем будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другое направление. Сложив силы ₁ и ₂, найдем что их равнодействующая ₁ (на рис. 6.2 не показана) будет всегда проходить через точку с ₁, положение которой определяется равенством . Сложив далее ₁ и ₃, найдем их равнодействующую, которая всегда будет проходить через точку с ₂, лежащую на прямой с ₁ А ₃. Доведя процесс последовательного сложения сил до конца, придем к выводу, что равнодействующая всех сил действительно всегда будет проходить через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам А ₁, А ₂, А ₃,… А_n будет неизменным.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около точек их приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол называется центром параллельных сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Определим координаты центра параллельных сил. Поскольку положение точки С по отношению к телу является неизменным, то ее координаты от выбора системы координат не зависят. Повернем все силы около точек их приложения так, чтобы они стали параллельны оси Оz и применим к повернутым силам теорему Вариньона. Так как является равнодей­ствующей этих сил, то, согласно теореме Вариньона, имеем , т.к. , , получим

.

Отсюда находим координату центра параллельных сил : .

Для определения координаты составим выражение моментов сил относительно оси Ox.

, ,

.

Для определения координаты повернем все силы, чтобы они стали параллельны оси Oy, и применим к этим силам (изображенным на рисунке пунктиром с точками) теорему Вариньона, беря моменты относительно оси Ox:

, ,

.