Взаимное пересечение двух плоскостей (1 группа позиционных задач)

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две точки этой линии:

S ¹ Ç S ² = m (1;2)

Вариант А. Обе плоскости проецирующие (рис.6.2)

а) S ¹ ^ P₁ или б) S ¹ ^ P₁

S ² ^ P₁ S ² ^ P₂

Т.к. m ÌS ¹ и S ², то единственное решение- пересечение этих плоскостей:

S ¹₁ Ç S ²₁ = m₁: для случая (а) m ^ P₁, если плоскости не параллельны; для случая (б) m₁ = S ¹₁, m₂ = S ²₂

а)	б)

Рисунок 6.2

Вариант В. Одна из плоскостей проецирующая

Если одна из плоскостей занимает частное положение, то ее вырожденная в прямую проекция включает в себя и проекцию линии пересечения плоскостей.

S 1 ^ P2 S 2 (a || b) - плоскость общего положения S 1 Ç S 2 = m (1; 2) { m Ì S 1, S^ P2 }Þ m2 = S 12 но m Î S 2, следовательно: m Ç a = (1), m Ç b = (2) или m2 Ç a2 = (12); m2 Ç b2 = (22) Þ m2 (12; 22), а m1 (11; 21) определяется по принадлежности

Рисунок 6.3

Вариант C. Обе плоскости общего положения

Для решения таких задач возможны два пути решения: по общему алгоритму или методом замены плоскостей проекций. Задача слишком проста для решения громоздким методом замены плоскостей проекций, поэтому решаем по общему алгоритму.

1) Вводим вспомогательную секущую плоскость Г¹. Вспомогательные плоскости всегда вводятся проецирующими: Г¹ ^ P₂ (или P₁).

2) Находим линии пересечения Г¹ с S ¹ и S ²; Г¹ Ç S ¹ =n¹; Г¹ Ç S ² = k¹.

(Это группа задач варианта В рассмотрена выше).

3) т.к. n¹ и k¹ лежат в одной плоскости Г¹, то n¹ Ç k¹ = M¹ - точка пересечения плоскостей S ¹ и S ².

Алгоритм решения повторяется: вводя вторую вспомогательную секущую плоскость Г² находим точку М². S ¹ Ç S ² = m (М¹; М²).

Рассмотрим задачу.

S 1 (a || b) – общего положения S 2 (c || d) – общего положения
1) Г1 ^ P2 2) Г1 ÇS 1 = n1 Г1 ÇS 2 = k1 3) n1 Ç k1 = M1 M1 Î m	1) Г2 ^ P 2) Г2 ÇS 1 = n2 Г2 ÇS 2 = k2 3) n2 Ç k2 = M2 M2 Î m

Рисунок 6.4