Экстремумы и интервалы монотонности функции

Исследование функции.

Функция называется возрастающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Аналогично, функция называется убывающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале и убывающие на интервале функции называются монотонными на интервале .

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции положительна на интервале , то функция монотонно возрастает на этом интервале.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции отрицательна на интервале , то функция монотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью тупые углы, а на интервалах возрастания – острые (см. рис. 1).

Рис. 1.

Теорема (необходимое условие монотонности функции). Если функция дифференцируема и () на интервале , то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции :

1. Найти .

2. Найти нули производной.

3. На числовой оси отметить область определения , нули производной и те точки, где производная не существует.

4. На каждом из полученных интервалов определить знак производной .

5. Сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом интервале.

Пример. Найти интервалы монотонности функции .

Точка называется точкой максимума функции , если существует некоторое число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство .

Максимум функции – это значение функции в точке максимума.

На рис 2 показан пример графика функции, имеющей максимумы в точках .

Рис. 2.

Точка называется точкой минимума функции , если существует некоторое число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство . На рис. 2 функция имеет минимум в точке .

Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы. Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

В точках экстремума у производной есть особые свойства.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть в точке функция имеет экстремум. Тогда либо не существует, либо .

Те точки из области определения функции, в которых не существует или в которых , называются критическими точками функции.

Таким образом, точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример. Рассмотрим . Имеем , но точка не является точкой экстремума (см. рис 3).

Рис. 3.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть в точке функция непрерывна, а производная при переходе через точку меняет знак. Тогда – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке производная дважды дифференцируемой функции равна нулю (), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля () и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда – точка экстремума ; при это точка минимума, а при это точка максимума.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума:

1. Найти производную.

2. Найти критические точки функции.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремальные значения функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума:

1. Найти производную .

2. Найти вторую производную .

3. Найти те точки, в которых .

4. В этих точках определить знак .

5. Сделать вывод о существовании и характере экстремумов.

6. Найти экстремальные значения функции.

Пример. Найти экстремумы функции .