1. Найти область определения .
a. Если у есть знаменатель, он не должен обращаться в 0.
b. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным (больше либо равно нулю).
c. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
a. Если , то функция четная.
b. Если , то функция нечетная.
c. Если не выполнено ни , ни , то – функция общего вида.
3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть).
a. Вертикальная асимптота может возникнуть только на границе области определения функции.
b. Если ( или ), то – вертикальная асимптота графика .
4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть).
a. Если , то – горизонтальная асимптота графика .
b. Если и , то прямая является наклонной асимптотой графика .
c. Если пределы, указанные в п. a, b, существуют только при одностороннем стремлении к бесконечности ( или ), то полученные асимптоты будут односторонними: левосторонними при и правосторонними при .
|
|
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
a. Найти производную .
b. Найти критические точки (те точки, где или, где не существует).
c. На числовой оси отметить область определения и ее критические точки.
d. На каждом из полученных числовых интервалов определить знак производной .
e. По знакам производной сделать вывод о наличии экстремумов у и их типе.
f. Найти экстремальные значения .
g. По знакам производной сделать вывод о возрастании и убывании .
6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.
a. Находим вторую производную .
b. Находим точки, в которых или не существует.
c. Исследуем знак слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и о наличии точек перегиба.
d. Находим значение функции в точках перегиба.
7. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки.
a. Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осью , надо решить уравнение . Точки , где – нули , будут точками пересечения графика с осью .
b. Точка пересечения графика с осью имеет вид . Она существует, только если точка входит в область определения функции .
8. Схематично построить график.
a. Построить систему координат и асимптоты.
b. Отметить экстремальные точки.
c. Отметить точки перегибы и интервалы выпуклости.
d. Отметить точки пересечения графика с осями координат.
e. Схематично построить график так, чтобы он проходил через отмеченные точки и приближался к асимптотам.
Пример. Исследовать функцию и схематично построить ее график.
|
|