Интервалы выпуклости и точки перегиба

Функция называется выпуклой вниз (выпуклой вверх) на промежутке , если для любых значений выполняется неравенство .

Теорема (достаточное условие выпуклости функции). Если функция имеет на интервале вторую производную , то график функции имеет на выпуклость направленную вниз (вверх).

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е. .

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Алгоритм нахождения выпуклостей функции и точек перегиба:

1. Находим вторую производную .

2. Находим точки, в которых или не существует.

3. Исследуем знак слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и о наличии точек перегиба.

4. Находим значение функции в точках перегиба.

Пример. Найти точки перегиба графика функции .