61. Из точки, принадлежащей окружности, проведены две равные хорды. Докажите, что диаметр, проходящий через эту точку, делит угол между хордами пополам.
62. В окружности проведены три равные хорды, одна из которых удалена от центра на 3 см. На каком расстоянии находятся от центра две другие хорды?
63. Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 30° и делится им на части, равные 12 см и 6 см. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.
64. Как расположены относительно друг друга две окружности (О1; R1) и (О2; R2), если О1О2 = 2 см, R1 = 4 см и R2 = 6 см?
65. Две окружности (С; а) и (D; b) касаются внешним образом. Известно, что СD = 16 см и а = 4 см. Найдите b.
66. Найдите диаметры двух концентрических окружностей, если ширина соответствующего кольца равна 12 см, а радиусы окружностей относятся как 5:2.
67. Найдите условие, при котором окружность (А; а) целиком лежит в круге (В; b).
68. Докажите равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки вне окружности к этой окружности.
69. Прямая пересекает окружность в точках А и В, С – произвольная точка отрезка АВ. Докажите, что расстояние от этой точки до центра окружности меньше радиуса данной окружности.
|
|
70. Докажите, что если прямая пересекает две концентрические окружности, то отрезки секущей, лежащие между этими окружностями, равны между собой.
71. Окружность разделена тремя точками на части, которые относятся между собой как 2:3:5. Через точки деления проведены хорды. Определите вид получившегося треугольника.
72. Даны два непересекающихся круга радиуса R. Расстояние между их центрами равно d. Найдите сторону и площадь ромба, образованного касательными, проведенными из центра каждого круга к другому кругу.
73. Через общую точку двух внешне касающихся окружностей проведена секущая. Докажите, что радиусы, проведенные в крайние точки пересечения секущей с окружностями, параллельны.
74. Две окружности внешне касаются в точке А. В и С – точки касания их внешней касательной, отрезок ВС равен a. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, В и С.
75. Окружности, радиусы которых равны 1 см и 3 см, внешне касаются. Найдите угол между их внешними касательными.
76. А, В, С – последовательные точки прямой. На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены окружности. К отрезку АС в точке В проведен перпендикулярный луч, пересекающий большую окружность в точке D. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Докажите, что СD = СК.
77. В круге с центром в точке О проведен диаметр АВ. Через точки А и В проведены касательные. Третья касательная, проведенная через точку М окружности, пересекает первые две касательные в точках С и D. Докажите, что треугольник СОD прямоугольный.
|
|
78. Через внешнюю точку к окружности проведены секущая, проходящая через центр окружности, и касательная, отрезок которой до точки касания равен половине секущей. Докажите, что отрезок касательной относится к радиусу окружности как 4:3.
79. Две окружности с радиусами 10 см и 17 см пересекаются. Их общая хорда равна 16 см. Найдите длину их общей касательной.
80. Две окружности, радиусы которых равны 2 см и 3 см, внутренне касаются. Из центра меньшей окружности проведен луч, перпендикулярный линии центров и пересекающий большую окружность, а из точки пересечения проведены две касательные к меньшей окружности. Найдите угол между касательными.