Вписанные и описанные многоугольники»

81. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

82. Острый угол прямоугольного треугольника равен 37°. Найдите углы, под которыми видны катеты из центра описанной около него окружности.

83. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 10 см, а один из углов равен 140°.

84. Постройте треугольник АВС по стороне АС = b, углу А и радиусу R описанной окружности.

85. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне а и радиусу описанной окружности R.

86. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого, взятые последовательно, относятся как 2:3:4:11?

87. Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если противоположные углы относятся как 2:3 и 4:5.

88. Постройте четырехугольник, который можно вписать в окружность, по трем его сторонам и одной диагонали.

89. В прямоугольный треугольник с острым углом 40° вписана окружность. Найдите углы, под которыми видны стороны данного треугольника из центра вписанной в него окружности.

90. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Под какими углами видны стороны треугольника из центра вписанной окружности.

91. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, большая диагональ которого равна 18 см, тупой угол равен 120°.

92. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетом b и прилежащим к нему острым углом a.

93. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны 2 см, 1 см, 1см, 1 см.

94. Три последовательные стороны описанной около круга трапеции равны 13 см, 8 см и 13 см. Найдите радиус круга.

95. В равнобедренную трапецию с основаниями 18 см и 6 см вписан круг. Найдите его радиус и углы трапеции.

96. Докажите, что во вписанном в окружность четырехугольнике внешний угол равен противолежащему внутреннему углу.

97. Через точку А дуги ВС проведены две хорды АD и АЕ, пересекающие хорду ВС в точках F и G соответственно. Докажите, что четырехугольник DFGЕ можно вписать в окружность.

98. Докажите, что во вписанном в окружность четырехугольнике биссектриса внутреннего угла пересекается с биссектрисой противолежащего внешнего угла на окружности.

99. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает в точке D перпендикуляр, проведенный из середины стороны АВ. Докажите, что около четырехугольника АDВС можно описать окружность.

100. Две окружности пересекаются в точках А и В; САD – секущая (точки С и D принадлежат окружностям). Через точки D и С проведены касательные до пересечения в точке Е. Докажите, что около четырехугольника ВСЕD можно описать окружность.