1. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает его стороны в точках В и С. Докажите, что треугольник AВС является равнобедренным.
2. В прямоугольных треугольниках АВС и А1В1С1 из вершин прямых углов С и С1 проведены высоты СН и С1Н1; СН = С1Н1, АН = А1Н1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.
3. В равностороннем треугольнике АВС на стороне АВ отложен отрезок АА1 = 1/3АВ, на ВС – отрезок ВВ1 = 1/3BC и на СА – отрезок СС1 = 1/3СА. Докажите, что треугольник А1В1С1 равносторонний.
4. В треугольнике АВС углы А и С равны. На стороне АС взяты точки D и Е такие, что АD = СЕ. Докажите, что треугольник DВЕ равнобедренный.
5. Определите вид треугольника, вершинами которого являются середины сторон равнобедренного треугольника.
6. В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены высоты, которые пересекаются в точке Н. Докажите, что ВН ┴ АС.
7. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.
|
|
8. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются под углом 128°. Найдите угол С.
9. Постройте треугольник по стороне, опущенной на нее высоте и прилежащему к ней углу.
10. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
11. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным из прилежащей к ней вершины треугольника.
12. Постройте треугольник по стороне, опущенной на нее высоте и проведенной к ней медиане.
13. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.
14. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 12 см. Найдите расстояние от нее до точки пересечения медиан треугольника.
15. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найдите периметр квадрата, если гипотенуза равна 8 см.
16. Перпендикуляр, опущенный из середины одного катета на гипотенузу, равен 6 см, а середина гипотенузы отстоит от этого же катета на 7,5 см. Найдите стороны данного треугольника.
17. Из середины М гипотенузы прямоугольного треугольника АВС проведен к ней перпендикуляр, который пересекает один из катетов данного треугольника в точке D, а продолжение другого – в точке Е, МD = а, МЕ = b. Найдите стороны данного треугольника.
18. В треугольнике даны сторона а и прилежащие к ней углы β и γ. Найдите остальные элементы треугольника.
19. В треугольнике даны две стороны а и b. Найдите третью сторону треугольника, если медианы, проведенные к известным сторонам, пересекаются под прямым углом.
20. В треугольнике АВС известны все стороны: АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. К стороне АВ через вершину В проведен перпендикуляр, который пересекает продолжение биссектрисы СL в точке Е. Найдите BE.