Система линейных алгебраических уравнении. Совместимость системы, Метод Гаусса. Правило Крамера

Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Числа называются коэффициентами системы; — свободными членами, — неизвестными. Количество уравнений в системе может быть меньше, больше или равно числу неизвестных. Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел такая, что после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Систему принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы

свободные члены записываем в столбец свободных членов

а неизвестные — в столбец неизвестных

Матричная запись неоднородной системы уравнений (5.1) имеет вид а однородной: где символ в правой части обозначает нулевой столбец размеров .

Правило Крамера. Если определитель матрицы системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.

В самом деле, рассмотрим систему (5.6) как матричное уравнение . Так как определитель матрицы отличен от нуля, по теореме 4.2 заключаем, что матричное уравнение имеет единственное решение: где — обратная матрица. Запишем i-й элемент столбца , учитывая, что в i-й строке присоединенной матрицы стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы

Заметим, что в скобках записано разложение определителя по i-му столбцу, т.е. , что и требовалось доказать.