2015-04-12
6213
Таќырыбы: Түзудің нормаль теңдеуі. Нормальдағыш көбейткіш. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.Түзулер шоғыры.
Түзудің нормальдық теңдеуі. Координаталардың бас нүктесінен бір (а) түзуіне жүргізілген перпендикуляр абсцисса осінің оң, бағытымен α бұрышын жасайды. Бұл перпендикулярдың ұзындығы болсын. Осы (а) түзуінің теңдеуін іздейік.
(а) түзуінің бойынан (31- сызба) еркімізше бір М(х, у) нүктесін алайық. Осы нүктеден абсцисса осіне МЕ перпендикулярын түсірсек, МЕВ тік бұрышты үшбұрышы шығады. Мұнда 
ЕМВ = α, ОЕ = х, ЕМ = у болады ОDВ тік бұрышты үшбұрышынан
соs α = 
= 
= 
, осыдан р= (х + ЕВ) соs α.
ЕМВ тік бұрышты үшбұрышынан tg α = 
= 
------------, осыдан ЕВ= у tg α. Осы ЕВ-нің мәнін жоғарғы теңдікке қойсақ, іздеген түзудің теңдеуін табамыз: р= (х + у tg α ) соs α. р = х соs α. + у sіn α,
х соs α + у sіn α— р = 0. (3)
Бұл теңдеу түзудің нормальдық теңдеуі деп аталады. Егер р = 0 болса, онда х соs α + у sіn α = 0. (3')
|
|
|
Егер түзу абсцисса осіне параллель болса, онда α = 
;
у = р. (3 ")
Егер түзу ордината -осіне параллель болса, онда α = 0,
x =p. (3'")
Егер р≥0 болса, онда х пен у- тіңалдындағы коэффициенттернің квадраттарының косындысы бірге тең, яғни соs2 α + sіn2 α = мұндағы |sіnα| ≤1, | соs α | ≤ 1.
(31- сызба) 
Түзудің жалпы теңдеуін нормальдық түрге келтіру. Бізге түзудің Ах + Ву + С = 0 жалпы теңдеуі берілсін. Осы теңдеуді нормальдық түрге келтірейік.
Берілген теңдеудің екі жағын да нольге тең болмайтын бір М≠О санына көбейтейік: МАх+МВу+МС = О. Бұл теңдеу түзудің нормальдық теңдеуі болу үшін мынадай шарттар орындалу керек: МА= соs α, МВ = sіnα,
МС= —р.
Алдынғы екі теңдіктің екі жағын квадраттап қосайық:
М 2 А 2 + М 2 В 2 = соs2 α + sіn2 α = 1.
осыдан М 2 (А 2 + В2)= 1,
М= 
Бұл М саны нормальдық көбейткіш деп аталады. Нормальдық көбейткіш түзудің жалпы теңдеуінің А және В коэффициенттері арқылы шығады. М= нормальдық көбейткіштің мәнін мына МАх + МВу + МС = О теңдеуіне қойсақ, мынау шығады: 
=0
Сонымен, жалпы теңдеуді нормальдық түрге келтіру үшін, оны нормальдық, кебейткішке көбейту керек. Нормальдық көбейткіштің таңбасын МС=−р теңдігі бойынша аламыз, яғни нормальдық, көбейткіштің таңбасы әрқашан да теңдеудің бос мүшесінің таңбасына қарама-қарсы болады. Кебейткіш М мен бос мүше С-нің көбейтіндісі теріс таңбалы сан болады: МС=− р. Ендеше, М мен С-тің таңбалары әр түрлі болады.
|
|
|
Мысал. Түзудің Зх — 4 у + 5 = 0 жалпы теңдеуі берілген. Осы теңдеуді нормальдық түрге келтірейік.
М= 
= 
= 
Енді түзудің нормальдық теңдеуін табайық:
=0, − 
x + 
y−1=0
Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтық. Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табайық. Бізге түзу х соs α + у sіn α−p = 0. нормальдық теңдеуімен берілген.
Жазықтықта берілген М1 (х1 , у1) нүктесі түзудің сыртында (32-сызба) жатсын. Осы нүктеден нормальдық теңдеу мен берілген түзуге дейінгі қашықтықты табайық.
Нормальдық теңдеумен берілген түзу ( α ) болсын (32-сызба). Берілген М1 (х1 , у1) нүктесінен берілген ( α ) түзуіне параллель (b) түзуін жүргізейік. Берілген М1 нүктесінің координаталары мына теңдеуді қанағаттандырады: х соs α + у sіn α− р'= 0. 32-сызбада М1Е=DМ = 
, ОМ = р, ОD = р', = ОD-OМ = р'-р, = р'-р. Жоғарғы теңдіктен
р'= х1 соs α + y1 sіn α.
Ал, берілген теңдеуден р = х соs α + у sіn α. Енді = р' — р теңдігіне табылған р' мәнін қойып, іздеген қашықтықтың формуласын табайық:
= х1 соs α + y1 sіn α− р.
Егер берілген нүкте берілген түзу мен бас нүктенің арасында болса, онда = р — р'= — (р' — р) болады. Сондықтан
= Ғ (х1 соs α + y1 sіn α — р).
Сөйтіп, нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу үшін берілген түзудің теңдеуінің ағымдық координаталарының орнына берілген нүктенің координаталарын қою керек.
Егер түзу Ах+Ву + С=0 жалпы түрде берілсе, онда берілген М1 (х1 , у1) нүктесінен бұл түзуге дейінгі қашықтық мынадай болады:
= 
=0
Жалпы теңдеуді нормальдық түрге кeлтіріп, оның ағымдық координаталарының орнына берілген нүктенің координаталарын қойдық
'Мысал. Мына Зх + 4у — 6 = 0 түзуінен жазықтықтағы М(2, 1) нүктеге дейінгі қашықтықты табайық: = 
= 
= =0,8
