Лекция. Таќырыбы: Векторлардың скаляр көбейтіндісі.Скалярлық көбейтіндіні координаталар арқылы өрнектеу

Таќырыбы: Векторлардың скаляр көбейтіндісі.Скалярлық көбейтіндіні координаталар арқылы өрнектеу.

Анықтама. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп, осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең болатын санды (скаляр) айтады. және векторлардың скаляр көбейтіндісін немесе деп белгілейді.

Анықтама бойынша

(5.1)

Ескерту. Механикада векторлардың скаляр көбейтіндісінің жәрдемімен берілген күші бойынша орын ауыстырудағы жұмысы есептелінеді (5.1-сурет).

Сурет.

Егер болатынын ескерсек, онда екі вектордың скаляр көбейтіндісі былай жазылады:

(5.2)

Скаляр көбейтіндінің қасиеттері. Екі вектордың скаляр көбейтіндісінің негізгі қасиеттерін атап өтейік.

1⁰. - орын ауыстырымдылық заңы;

2⁰. - нақты сан бойынша терімділік заңы;

3⁰. - қосынды бойынша үлесімділік заңы;

4⁰. егер - скаляр квадрат деп аталады.

5⁰. болса, онда екі вектордың біреуі нөльдік вектор немесе олардың арасындағы бұрыш – тік, яғни өзара перпендикуляр.

Келтірілген 1⁰ және 4⁰ қасиеттердің дәлелдеуіне формула бойынша көз жеткізу қиынға соқпайды.

2⁰-қасиетті дәлелдеу үшін, тағы да скаляр көбейтіндінің екінші анықтамасын (5.2) еске түсірсек жеткілікті, яғни

3⁰ қасиетті дәлелдеу үшін, тағы да екінші анықтама және проекция қасиеттерін еске түсірсек жеткілікті.

5⁰ қасиетті теорема түрінде беріп дәлелдейік.

5.1-Теорема. Берілген екі вектордың өзара ортогональ (перпендикуляр) болуы үшін, олардың скаляр көбейтіндісінің нөльге тең – болуы, қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Айталық, және векторлары өзара ортогональ, -олардың арасындағы бұрыш. Онда болады да, скаляр көбейтіндінің анықтамасы .

Жеткіліктілігі. Айталық, скаляр көбейтінді – . Енді және векторларының ортогональ екендігін дәлелдейік. Бұл кезде екі жағдай болуы мүмкін.

Біріншіден, берілген екі вектордың ең болмағанда біреуі нөльдік вектор болуы, ал нөльдік вектордың бағыты анықталмағандықтан, кез келген векторға ортогональ болады.

Екіншіден, берілген векторлар нөльдік емес, онда Бұл кезде тек , яғни -тік бұрыш. Демек, және векторлары өзара ортогональ.

Теореме толық дәлелденді.

Скаляр көбейтіндінің 6⁰ қасиеті ретінде немесе алдағы уақытта қажетті болғандықтан келесі теореманы келтірейік.

5.2-Теорема. Егер нөльдік емес, және векторларының скаляр көбейтіндісі оң (теріс).

(5.3)

болса, олардың арасындағы бұрыш сүйір (доғал) болады.

Дәлелдеуі. Берілген және векторлары нөлдік болмағандықтан скаляр көбейтіндінің (5.1) таңбасы шамасымен байланысты. Егер болса, ал, болғанда .

Теорема дәлелденді.

Скаляр көбейтіндінің координаттық түрі. Декарттық координаталар жүйесінде және векторлары берілсін.

Егер орттары үшін, скаляр көбейтіндінің анықтамасын қолдансақ,

(5.4)

болатындығын оңай байқауға болады (4⁰, 5⁰ қасиеттер).

5.3-Теорема. Егер және векторлары координаталар арқылы берілген болса, онда олардың скаляр көбейтіндісі

(5.5)

теңдігімен анықталады.

Дәлелденуі. Айталық , векторлары берілсін, мұндағы -тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінің (5.4) теңдіктерді қанағаттандыратын орттар. Сонымен,

Теорема дәлелденді.

Дербес жағдайда,

(5.6)

Жоғарыда дәлелденген теоремаларды 5.2 және 5.3 теоремаларды пайдаланып екі вектордың ортоганалдық (перпендикулярлық) шартын алуымызға болады,

(5.7)

Скаляр көбейтіндінің координаттық түрін пайдаланып, олардың арасындағы бұрыштың косинусын және векторлардың бір-біріне проекцияларының формулаларын аламыз:

(5.8)

(5.9)

Анықтама. векторының координат осьтерімен жасайтын бұрыштарының косинустары векторының бағыттаушы косинустары деп аталынады.

екендігі шығады. Демек, вектордың бағыттаушы косинустарының квадраттарының қосындысы бірге тең, яғни Олай болса, вектордың бағыттаушы косинустары бірлік вектордың координаталары болады:

Берілген екі векторға ортогональ вектор. Алдағы уақытта жиі қолданылатын есепті қарастырайық.

Айталық, өзара коллинеарлы емес екі және векторлары берілсін. Мақсатымыз – осы векторларға ортогональ болатын векторын табу.

Ол үшін жоғарыдағы екі вектордың ортогоналдық шартын пайдаланамыз:

(5.10)

Біз үш белгісізді екі теңдеулер жүйесін алдық. Егер белгісіздердің біреуінің коэффициенті нөлден ерекше болса, мысал үшін , онда бірінші теңдеуден -ті тауып, екіншісіне қойсақ,

(5.11)

болатындығын көреміз. Демек,

(5.12)

Бұдан үшінші айнымалы -ке кез келген мән беру арқылы, берілген және векторына ортогональ болатын сансыз көп векторларын аламыз және олардың барлығы өзара коллинеарлы болады. Сондықтан, дербес жағдайда, деп алсақ,

(5.13)

берілген векторларға ортогональ векторды аламыз.

Енді екінші ретті анықтауышты пайдаланып

(5.14)

болатындығын көреміз. Ендеше,

(5.15)

Мысал үшін, болса, онда

Енді, ортогоналдық шартты тексеру арқылы

табылған векторы, берілген және векторларына ортогональ.

Мысал. күштеріне тең әсерлі күш әсерінен материалдық нүктені нүктесінен нүктесіне жеткізу кезіндегі жасалатын жұмыстың шамасын табайық.

Шешуі: Есептің шарты бойынша , ал жол . Онда және векторларының скаляр көбейтіндісі (5.1) жасалынатын жұмыс шамасын береді. Ендеше (5.5) бойынша .