II. График гиперболы

1. Симметрия.
Гипербола имеет две оси симметрии – ось Ox и ось Oy; и центр симметрии – начало координат O (0;0).

2. Вершины. Действительные и мнимые оси.

Вершины гиперболы – это точки пересечения гиперболы с осями симметрии, т.е. с осью Ox и осью Oy.

С осью Ох: у =0 ,

С осью Оу: х =0 нет действительных корней, гипербола не пересекается с Оу.

Итак, две вершины: и .

Опр. Отрезок А ₁ А ₂ и его длина 2 а называется действительной осью гиперболы.

Возьмем на оси Оу две точки и .

Опр. Отрезок В ₁ В ₂ и его длина 2 b называется мнимой осью гиперболы.

а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

3. Асимптоты гиперболы

Опр. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность.

Гипербола имеет две асимптоты:

, – уравнение асимптот гиперболы.

4. График гиперболы

1) Построить (характеристический) прямоугольник со сторонами, параллельными осям Ох и Оу и проходящими на оси Ох на расстоянии а от точки О (0;0) по обе стороны, на оси Оу – на расстоянии b.

2) Провести асимптоты гиперболы по диагоналям прямоугольника.

3) Вершины гиперболы в точках и и построить график гиперболы

А ₁, А ₂ – вершины гиперболы, – фокусы гиперболы.