Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Дано: ABCD-трапеция Q - середина АВ, P - середина СD Доказать: PQ||BC, PQ||AD PQ=1/2 (BC + AD) |
Доказательство:
Пусть ABCD - данная трапеция. Проведем через вершину B и середину боковой стороны P прямую. E=ADÇ BP.
DPBC=DPED (по второму признаку):
1. СP=DP по построению
2. ÐBPQ=ÐEPD как вертикальные
3. ÐPCB=ÐPDE как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей CD
Из DPBC=DPED ÞPB=PE, BC=ED. Значит средняя линия PQ трапеции - средняя линия DABE.
По свойству средней линии треугольника - PQ=1/2 AE=1/2(AD+BC) и PQ||AD, PQ||BC.
Теорема доказана
2)Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника
Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника
Пусть A 1 A 2... An — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: A 1 A 3, A 1 A 4, A 1 A 5... A 1 An − 1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника:Δ A 1 A 2 A 3,Δ A 1 A 3 A 4,...,Δ A 1 An − 1 An. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана.
|
|
1)