Теорема Фалеса

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне (см. рисунок)

Докажем, что:

OA/OA₁=AB/AB₁=BC/BC₁=k

Для доказательства построим отрезки AB₂, BC₂,..., параллельные стороне OA₁ данного угла с вершиной O. Треугольники OAA₁, ABB₂, BCC₂,..., подобны в силу равенства соответственных углов при параллельных прямых OA₁, AB₂, BC₂,... и соответственных углов при параллельных прямых AA₁, BB₁, CC₁,... Отсюда следует:

OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k

Поскольку AB₂=A₁B₁, BC₂=B₁C₁,..., то сформулированное предложение доказано. В частности, если OA=AB =BC, то и OA₁=A₁B₁=B₁C₁.

Следовательно, если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла, то на ней отсекаются также равные отрезки (теорема Фалеса).