Берiлген базистегi вектор координаталары 7 страница

320. нүктеден өтетiн және нормалiнiң поляр бұрышы болатын түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар.

321. нүктелерден өтетiн түзудiң поляр теңдеуi қандай болады?

322. Полюстен өтетiн және поляр осiмен бұрыш жасайтынтүзудiң поляр теңдеуiн анықтаңдар.

323. нүктеден өтетiн және поляр осiне перпендикуляр болатын түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар.

324. нүктеден өтетiн және поляр осiне параллель болатын түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар.

325. нүктеден өтiп, поляр осiмен бұрыш жасайтын түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар.

326. Поляр осiнен полюстен бастап 6-ға тең кесiндi қиятын және осьпен бұрыш жасайтын түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар.

§2. Жазықтық

Бiр М₀(x₀,y₀,z₀‘ нүктеден өтетiн және векторларына параллель болатын жазықтық теңдеуi былайша жазылады:

(1)

Жазықтықтың параметрлiк теңдеуi: (2)

болады, мұндағы u,v айнымалы параметр, (x₀,y₀,z₀) жазықтық бойындағы нүкте координаталары, (a _1, a _2, a ₃) және (b_1, b_2, b₃) жазықтыққа параллель вектордың координаталары.

Үш М₁(x₁,y₁,z₁), М₂(x₂,y₂,z₂), М₃(x₃,y₃,z₃) нүктелердi басып, тек бiр жазықтық өтедi. Оның теңдеуi былайша анықталады:

(3)

Жазықтық координата осьтерiнен сәйкесiнше a,b,c кесiндiлер қиып түссе, онда ол жазықтық теңдеуiн былайша жазуға болады: (4)

Мұны жазықтықтың кесiндiлiк теңдеуi дейдi.

Жазықтық бiрiншi реттi алгебралық бет болады. Оның жалпы теңдеуi: Ax+By+Cz+D=0 (5) болады. Бұл жазықтыққа координаталары векторлар параллель болады. Ал, вектор перпендикуляр болады. Оны жазықтықтың нормаль векторы дейдi.

Жазықтықтың жалпы теңдеуiндегi төрт коэффициенттiң ең болмағанда бiреуi нөлге тең болса, онда ол жазықтықтың толымсыз теңдеуi делiнедi. Ax+By+Cz=0 (6) (координата басынан өтетiн жазықтықтың теңдеуi)

Ax+By+D=0 (7) (Оz осiне параллель жазықтықтың теңдеуi болады)

Ax+By=0 (8) (z осiн басып өтетiн жазықтықтың теңдеуi)

Ax+D=0 (9) (Оуz жазықтығына параллель жазықтықтың теңдеуi)

Ax=0 (10) (Оуz жазықтықтың теңдеуi)

М₀(x₀,y₀,z₀) нүктеден векторға перпендикуляр болып жүргiзiлген жазықтықтың теңдеуi мынандай болады:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (11)

Жазықтықтың теңдеуiндегi айнымалылардың коэффициент-терiнiң квадраттарының қосындысы 1-ге тең болса, онда ол жазықтықтың нормаль теңдеуi делiнедi.Жазықтықтың нормаль теңдеуi былайша өрнектеледi: (12)

Мұндағы р координат басынан жазықтыққа жүргiзiлген перпендику-лярдың ұзындығы; сол перпендикулярдың координата осьтерiмен жасайтын бұрыштары. жазықтық нормалiнiң бағыттаушы косинустары делiнедi. Олар арасында мынандай қатыс болады:

(13)

Жалпы түрде берiлген жазықтық теңдеуiн нормаль күйге келтiру үшiн оны: (14) санына көбейту керек, мұны нормальдаушы көбейткiш дейдi. Сонда (5) теңдеу мынандай болып нормаль күйге келедi: (15) (12) және (15) формулалардан:

(16)

бағыттаушы косинустарды табуға арналған формулалар шығады.

(6) түрде берiлген жазықтыққа векторының параллель болу шарты: (17)

Екi жазықтық қиылысу үшiн олардың теңдеулерiндегi белгiсiздiң коэффициенттерi 0-ге тең болмау керек.

Егер (18) болса, онда екi жазықтық параллель болады, ал төрт коэффициент те пропорционал болса, онда екi жазықтық беттеседi: (19) М₀(x₀,y₀,z₀) нүктенiң (5) жазықтықтан қашықтығы: (20)

ал (13) түрде берiлген жазықтықтан қашықтығы:

(21) формуласымен табылады. Екi жазықтық арасындағы бұрыш: (22)

Бұдан жазықтықтар параллель болса: , (23)

перпендикуляр болса: (24) шарттары орындалады.

М₁(х₁,у₁,z₁), М₂(х₂,у₂,z₂) нүктемен Ах+Ву+Сz+D=0 жазықтығы үшiн (25)болса, онда М₁ мен М₂ берiлген жазық-тықтың бiр жағында жатады, ал егер: (26)

болса, екi нүкте жазықтықтың екi жағында жатады.

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. А(2,5,1), В(6,3,2), С(1,1,1) нүктелерiн басып өтетiн жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

Шешуi. Үш нүктенi басып өтетiн жазықтық теңдеуi (3) бойынша:

Бұл есептi басқаша (1) формуламен шығаруға болады. Ол үшiн векторларын табамыз, сонда:

2-мысал. 5x+8y-z-7=0 және x+2y+3z+1=0 жазықтықтарының қиылысу сызықтарынан М(2,1,-1) нүктенi басып өтетiн жазықтық жүргiзiңдер.

Шешуi. Жазықтықтар шоғының теңдеуiн пайдаланамыз:

.Мұндағы -ны бұл жазықтықтың М(2,1,-1) нүктенi басып өту шартынан табамыз. Сонда: .Мұны орнына қойсақ: x+4y+19z+13=0.

3-мысал. 4x-2y+3z-7=0 жазықтығы төбелерi А(4,-3,2), В(0,2,7), С(1,1,1) болатын үшбұрыштың қайсы қабырғаларын қияды?

Шешуi. (25), (26) формулаларды пайдаланамыз:

Сонымен,

Олай болса, А жазықтықтың бiр жағында, В мен С екiншi жағында жатады. Сондықтан, жазықтық АВ мен АС-ны қияды.

4-мысал. x-4y-8z+12=0 және x+20y+7z=0 жазықтықтары арасындағы екi жақты бұрыштардың М(3,-1,-2) нүкте жататынын табыңдар.

Шешуi. Ол үшiн М(3,-1,-2) нүкте мен жазықтықтың нормаль векторларының берiлген жазықтыққа қарағанда қалай орналасатынын анықтау керек (30-сызба).

болғандықтан бiрiншi жазықтықтың нормалi ол жазықтықтың М жатқан жағына, екiншi жазықтықтың нормасы М жатпайтын жағына қарай бағытталады: 26-сызбадағыдай болып орналасады. Сондықтан, М жатқан екi жақты бұрыш векторлар арасындағы бұрышқа тең болады. Ол бұрыш: яғни:

5-мысал. жазықтыққа қарағанда нүктеге симметриялы нүктенi табыңдар.

Шешуi. Жазықтықтың нормаль векторы оның бiрлiк векторы болады. Жазықтықтан М нүкте арасы (31-сызба):

Сондықтан, вектор М нүктесi жатқан жарты кеңiстiкке қарай бағытталады. Сонда: Мұны координаталар арқылы жазсақ: . Сонымен,

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Жазықтық қандай жағдайда берiлген (анықталған) делiнедi?

2. Жазықтықтың теңдеулерi қандай?

3. Жазықтық пен вектордың өзара параллель болу шарты қандай?

4. Жазықтықтың жалпы теңдеуiн нормаль түрге қалай келтiредi? Нормальдаушы көбейткiш деген не?

5. Жазықтықтың нормалi деген не? Оның координаталар осьтерiмен жасайтын бұрыштарын қалай табады?

6. Бағыттаушы косинустарды өзара байланыстыратын формула қандай?

7. Екi жазықтықтың өзара орналасу мүмкiндiктерi қандай? Олардың өзара қиылысу, параллель болу және беттесу шарттары қандай?

8. Нүкте мен жазықтық ара қашықтығы деген не және оны қалай табады? Нүктенiң жазықтықтан ауытқуы (алшақтауы) және ара қашықтығы арасында қандай айырмашылық бар?

9. Жазықтықтар арасындағы бұрыш деп ненi айтады, оны қалай табады? Қиылысатын екi жазықтық арасындағы бұрыш пен ол жазықтықтың нормаль векторлары арасында қандай қатыс бар?

10. Жазықтықтардың өзара параллель және перпендикуляр болу шарттары қандай?

Жаттығу есептерi

327.Координаталар жазықтықтарының тiк бұрышты координаталар жүйесiндегi теңдеулерi қандай болады?

328.А(3,-2,4) нүктеден өтетiн және координаталар жазықтықтарына параллель болатын жазықтықтардың теңдеуi қандай болады?

329.Жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар, егер ол:

А(2,0,3) нүктеден өтетiн және векторларға;

В(3,4,-5) нүктеден өтетiн және векторларға;

С(2,-1,3) нүктеден өтетiн және векторларға

параллель болатын болса.

330.Жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар, егер ол:

А₁(1,2,3), А₂(2,-1,3) нүктелерден өтетiн және векторға;

В₁(7,2,-3), В₂(5,6,-4) нүктелерден өтетiн және векторға;

С₁(0,1,2), С₂(-2,0,3) нүктелерден өтетiн және векторға

параллель болатын болса.

331.А(1,2,3) нүкте мен координаталар осьтерiн басып өтетiн жазықтықтардың теңдеулерi қандай болады?

332.Үш нүктенi: 1) А₁(1,-1,2), А₂(-2,3,-1), А₃(3,2,1); 2)В₁(1,2,3), В₂(2,1,3), В₃(0,-1,2); 3)С₁(2,3,1), С₂(3,1,4), С₃(2,1,5) басып өтетiн жазықтықтарының теңдеуiн құрыңдар.

333.Базистiк векторлардың ұштарынан өтетiн жазықтықтың теңдеуi қандай болады?

334.Координаталар осiнен сәйкесiнше: 1) a=2, b=3, c=4; 2) a=1, b=-2, c=3; 3) a=-2, b=3, c=6 кесiндiлерiн қиып түсетiн жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

335.Координаталар осьтерiнен теңдей кесiндiлер қиып түсетiн және Q(2,-1,3) нүктеден өтетiн жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

336.Координаталар осьтерiн А(4,0,0), В(0,3,0), С(0,0,2) нүктелерде қиып өтетiн жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

337.М(2,-1,1) нүктеден өтетiн және векторға перпендикуляр болатын жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

338.А(2,3,-1) нүктеден өтетiн және нормаль вектор болатын жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

339.А(3,-1,2), В(4,-2,-1) берiлген. А нүктеден п векторға перпендикуляр етiп жүргiзiлген жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

340.А(2,3,-5) нүктеден өтетiн және векторларға параллель болатын жазықтықтың параметрлiк теңдеуiн құрыңдар.

341.Параметрлiк теңдеумен: 1) x=2+3u-4v, y=4-v, z=2+3u; 2) x=u+v, y=u-v, z=5+6u-4v берiлген жазықтықтардың жалпы теңдеуiн жазыңдар.

342.2x-3y+5z-2=0 жазықтығына: 1) паралель; 2) перпендикуляр болатын бiрнеше векторды атаңдар.

343.А(1,-1,0), B(-2,-1,2), C(3,-1,4), D(0,1,-1) нүктелердiң 2x+3y-z+1=0 жазықтықта жату, жатпауын анықтаңдар.

344.Жазықтықтардың: 1) 2x+5y-3z+7=0, 2) x-3y+z=0, 3) 2x+y+5=0, 4) x-3z-6=0, 5) 2y+3z+1=0, 6) x-2=0, 7) y+3=0, 8) z-6=0 нормаль векторларын анықтаңдар.

345.Теңдеулердiң қайсысы нормаль түрде берiлген:

346.Жазықтықтың теңдеуiн нормаль күйге келтiрiңдер:

1) 6x+2y-3z+12=0, 2) 2x+6y-5z-9=0, 3)4x+y+8z-9=0,

4) 3y-4z+5=0, 5) 5x-12y-4=0.

347.Жазықтықтар параллель ма:

1) 2x-3y+5z-7=0, 2x-3y+5z+8=0; 2) 4x+2y-4z+5=0,

2x+y+2z+4=0; 3) x-3z+1=0, 2x-6z-3=0.

348.Жазықтықтар перпендикуляр ма:

1) 3x-y-2z-6=0, x+9y-3z+1=0; 2) x+3y-z+3=0, 2x-5y+6z+7=0;

3) 2x-5y-z=0, x+2z-3=0.

349.Нүкте мен жазықтықтың: 1) А(3,1,-1), 22x+4y-20z-45=0; 2) В(4,3,-2), 3x-y+5z+1=0; 3) қашықтығын табыңдар:

350.Нүктенiң жазықтықтан ауытқуын және қашықтығын табыңдар:

1) А(-2,-4,3), 2x-y+2z+3=0; 2) В(2,-1,-1), 16x-12y+15z-4=0;

3) С(3,-6,7), 4x-3z-1=0.

351.Параллель жазықтықтардың ара қашықтықтарын табыңдар:

1) x-2y-2z-12=0, 2) 2x-3y+6z-14=0, 3) 2x-y+2z+9=0, 4)16x+12y-15z+50=0;

x-2y-2z-6=0 4x-6y+12z+21=0; 4x-2y+4z-21=0; 16x+12y-15z+25=0.

352.Жазықтықтардың қиылысатытына көз жеткiзу, олар арасындағы бұрышты табыңдар:

353.2x-y+2z+9=0 жазықтыққа перпендикуляр түзудiң бағыттаушы косинустарын табыңдар.

354.Мына жазықтықтардың:

нормальдарының координаталар осьтерiмен жасайтын бұрышын және жазықтықтың координаталар басынан қашықтыңын табыңдар.

355.Төбелерi: S(0,6,4), А(3,5,3), В(-2,11,-5), С(1,-1,4) болатын пирамиданың S төбесiнен жүргiзiлген биiктiгiн табыңыздар.

356.Жазықтықтар: 3x-y+7z-4=0, 5x+3y-5z+2=0 арасындағы екi жақты бұрышты қақ бөлетiн жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

357.Мына төрт нүктенi бастыра жазықтық жүргiзуге болады ма:

1)(3,1,0), (0,7,2), (-1,0,5), (4,1,5); 2)(1,-1,1), (0,2,4), (1,3,3), (4,0,-3).

358.Үш жазықтықтың қиылысу нүктесiн табыңдар:

5x+8y-z-7=0, 2) x-4y-2z+3=0, 3) 2x-y+5z-4=0,

x+2y+3z-1=0, 3x-y+z-5=0, 5x+2y-13z+23=0,

2x+3y+2z-9=0. 3x-12y-6z+7=0. 3x-z+5=0.

359.A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0 үш жазықтықтың бiр нүктеде қиылысу шартын анықтаңдар.

360.М(2,-1,3) нүкте мен координаталар басы мына жазықтықтар:

1) 2x-y+3z-5=0, 2) 2x+3y-5z-15=0, 3) x+5y-z+1=0,

3x+2y-z+3=0. 5x-y-3z-7=0. 2x+17y+z+2=0.

арасындағы бұрыштың екеуi бiреуiнде жатадыма, жоқ әлде сыбайлас немесе вертикаль бұрыштарда жатады ма?

361.6x-y+z=0, 5x+3z-10=0 жазықтықтарының қиылысу сызығынан:

1) Ох, 2) Оz осьтерiне параллель етiп жүргiзiлген жазықтықтардың теңдеулерiн құрыңдар.

362.2x-z=0, x+y-z+5=0 жазықтықтарының қиылысу сызығынан 7x-y+4z-3=0 жазықтыққа перпендикуляр етiп жүргiзiлген жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

363.Мына жазықтықтар: 2x+y-3z+2=0, 5x+5y-4z+3=0 анықтайтын шоқтан өзара перпендикуляр болатын және бiреуi (4,-3,1) нүктеден өтетiн екi жазықтықты табыңдар.

364.Оz осiнен мына жазықтықпен бұрыш жасай жүргiзiлген жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

365.x+5y+z=0, x-z+4=0 жазықтықтарының қиылысу сызығынан x-4y-8z+12=0 жазықтықпен бұрыш жасайтын жазықтықтың теңдеуiн құрыңдар.

366.Үш жазықтықтың өзара қалай орналасқанын ажыратыңдар:

2x-4y+5z-21=0, x-3z+18=0, 6x+y+z-30=0;

x+2y-3z=0, 3x+6y+qz+10=0, 2x+4y-6z-1=0;

3x-y+2z+1=0, 7x+2y+z=0, 15x+8y-z-2=0.

367.Үш жазықтық қалай орналасқан:

5x-2y+4=0, 3x+z-5=0, 8x-2y+z+7=0;

6x+2y+12z-3=0, 5y-7z-10=0, 3x+y+6z+12=0;

2x+3y-4z+1=0, 4x+6y-8z-1=0, x+y+z+3=0.

368.Мына үш жазықтықтың өзара параллель түзулер бойымен қиылысатынын дәлелдеңдер:2x-y+3z-5=0, 3x+ y+2z-1=0, 4x+3y+z+2=0.

369.Мына үш жазықтықтың бiр түзуден өтетiнiн дәлелдеңдер:

7x+4y+7z+1=0, 2x-y-z+2=0, x+2y+3z-1=0.

370.Мына үш жазықтықтың A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0: а)бiр ғана ортақ нүктесiнiң болуының, ә)бiр ғана ортақ түзуiнiң болуының, б)бiр-бiрiне қос-қостан параллель болуының қажеттi және жеткiлiктi шарты қандай?

371.Алдындағы 383 есептегi үш жазықтықтың: а)қиылысу сызықтарының параллель болуының, ә)екеуiнiң өзара параллель болып, үшiншiсiнiң олармен қиылысуының, бiр жазықтықты анықтауының қажеттi және жеткiлiктi шарттарын қорытып шығарыңдар.

372.Мына үш жазықтықтың: x-y=0, x+y-2z+1=0, 2x+z-4=0 қиылысу нүкте-сiнен және: 1) Оу осiнен өтетiн, 2) Охz жазықтығына параллель болатын, 3) Координаталар басы мен М(2,1,7) нүктенi басып өтетiн жазықтықтың теңдеуiн жазыңдар.

373.A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0, i=1,2,3,4 төрт жазықтығы бiр байламға жату үшiн оның коэффициенттерi қандай шартты қанағаттандыруы керек?

374.A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0, i=1,2,3 үш жазықтықтың қиылысу нүктесiнен төртiншi A₄x+B₄y+C₄z+D₄=0 жазықтыққа дейiнгi қашықтықты табыңдар.

375.x+y-z+2=0, 4x-3y+z-1=0, 2x+y-5=0 жазықтықтар байланысына енетiн және: абцисса осiн басып өтетiн, Охz жазықтығына параллель болатын, О(0,0,0) және А(1,3,2) нүктелерден өтетiн жазықтығын табыңдар.