Берiлген базистегi вектор координаталары 4 страница

133. А(-5,9) нүктеден ордината, абцисса өстерiне қарағанда қашықтықтығы 15 болатын нүктенi табыңдар.

134. Төбелерi (3,-7), (-1,4) болатын квадраттың ауданы неге тең болады.

135. Егер А(1,1), В(2,-1) 2) А(0,0), В(-2,1) болса, тең қабырғалы үшбұрыштың үшіншi төбесiн табыңдар.

136. АВС тең қабырғалы үшбұрыш, D-оның ауырлық центрi. Егер 1) А(2,0), D(1,- ); 2) А(-2,1), D(0,1) болса В, С нүктелерінің координаталары неге тең.

137. Үшбұрыштың түрiн ажыратып, ауданын табыңдар.

1) А(0,9), В(-4,-1), С(3,2), 3) А(3,-3), В(-1,-3), С(1,1),

2) А(10,5), В(3,2), С(6,-2), 4) А(-2,4), В(0,-3), С(1,7).

138. Төбелерi (1,3), (-2,0), (4,3), (-3,5) нүктелер болатын төртбұрыштың ауданын табыңдар.

139.Екі төбесi (1,2), (5,-1) нүктелер болатын, үшіншi төбесi Ох өсiнде жататын, ауданы 2-ге тең, үшбұрыштың үшіншi төбесiн табыңдар.

140.Төбелерi А(5,-4), В(-1,2), С(5,1) үшбұрыштың А төбесiнен жүргізілген медианасын табыңдар.

141.Төбелерi А(3,3), В(-2,3), С(0,-1) үшбұрыштың биссектриссаларының та-бандарының координаталарын табыңдар.

142.Төбелерi А(6,-8), В(-5,0), С(3,6) үшбұрыштың А төбесiнен жүргізілген би-iктiгiн табыңдар.

143. В(2,-2) және С(3,6) нүктелерi арқылы өтетiн түзуден А(-2,1) нүктесіне дейінгі қашықтық неге тең.

144. Төбелерi А(4,1), В(7,5), С(-4,7) болатын үшбұрыштың А нүктеден жүргізілген бессектрисасын табыңдар.

145. Төбелерi А(2,5), В(3,8), С(8,11), D(10,5) болатын төртбұрыштың ауырлық центрін табыңдар.

§2. Координаталарының поляр жүйесi.

Координаталардың поляр жүйесi жазықтықтың бiр О нүктедегi мен ол нүктеден шығарып бiрлiк векторының жинақтығынын тұрады. О нүктесі координаталар жүйесiнiң полюсi, ал Бұл нүктеден шығатын – мен бағыттас Р сәуле поляр осi делiнедi (15-сызба).

Поляр осiнде жатпайтын М нүкте берiлсiн. Ол нүктенiң полюстен қашықтығы ОМ=r –ды М нүктенiн поляр-радиусы, ОМ-нiң Р осiмен жасайтын j бұрышын поляр бұрышы дейдi: әрбiр М нүктеге тек бiр ғана (r, j) қос саны сай келедi.

15-сызба

Керiсiнше әрбiр r, j қос санына жазықтықтын тек бiр М нүктесi сай келедi. Бұл сандарды М нүктенiн поляр координаталары дейдi де М(r, j) түрiнде жазады. r оң сан және 0£r£¥ аралықта өзгередi, поляр бұрышы j+2kp болуы мүмкін. Оның iшiнде -p£j£p аралықтағы мәнi поляр бұрышының негiзгi мәнi делiнедi.

Егер полюстi тiк бұрышты координаталар жүйесiнiн басы, ал поляр осiн абсцисса осi үшін алса, онда М нүктенiң Бұл жүйелердегi поляр координаталары (r, j), декарттық координаталары (x, y) арасында мынадай байланыс болады. (8) және (9)

A(r₁, j₁), B(r₂, j₂) нүктелерінің ара қашықтығы

(10) формуламен анықталады.

Егер М мен М¢ нүктелерi полюске қарағанда симметриялы болса (16-сызба), онда М¢ нүктенiң координаталарын М¢(r, j+p)-ден орнына М¢(-r, j) деуге де болады. Бұл кезде поляр жүйесi жалпыланған поляр жүйесi делiнедi.

16 - сызба

1-мысал. Поляр координаталар жүйесiнде берiлген және нүктелерiнiң арна қашықтығын табыңдар (17-сызба).

Шешуi: Косинустар теоремасы бойынша:

Сонымен AB=5.

2-мысал. A(-1,1) нүктесiнiң поляр координатасын табыңдар.

Шешуi: (9) формула бойынша: Ал болғандықтан j екiншi ширекте жатуы керек. Демек, Сонымен

3-мысал. нүкте поляр координатасында берілген. Ол нүктенiн декарттық координаталарын табыңдар.

Шешуі: (8) формула бойынша Сонымен,

Қайталауға арналған сұрақтар.

1. Координаталардың поляр жүйесi деген не?

2. Полюс, поляр өсi деп ненi айтады?

3. Нүктенiң поляр координаталар жүйесiндегi координаталары деп ненi айтады?

4. Нүктенiң поляр координаталары арқылы оның декарттық координаталарын қала табылады?

5. Нүктенiң декарттық координаталарын арқылы оның поляр координаталарын қалай табады?

6. Жалпыланған поляр координаталар жүйесi жеген не?

7. Поляр бұрыштарың нөлге тең нүктелер қалай орналасады?

8. Поляр координаталар екi нүкте арасы қалай табылады?

Жаттығу есептерi

146. Поляр координаталар жүйесiнде берiлген нүктелердi салыңдар:

147. Радиусы r-ге тең, центрi полюс болатын шеңбердiң нүктелерiнiң поляр координаталары туралы қандай тұжырым жасауға болады?

148. Полюстен өтетiн және поляр өсiмен 60^о бұрыш жасайтын түзудiң поляр координаталары туралы не айтуға болады?

149. Берiлген поляр координаталар жүйесiнде поляр радиустары теңдiгi нүктелер жазықтықта қалай орналасады?

150. Берiлген поляр координаталар жүйесiнде поляр бұрыштары теңдiгi нүктелер жазықтықта қалай орналасады?

151. нүктелерге полюске қарағанда симметриясы нүктелердi табюыңдар.

152. нүктелерге поляр өсiне қарағанда симметриясы нүктелердi табыңдар.

153. Поляр координаталары мына теңдеулердiң r=2, r=5, j= тек бiрден қанағаттандыратын нүктелер қалай орналасады?

154. Поляр координаталары 1) r тұрақты болып, j - өзгеретiн нүктелер, 2) j тұрақты болып, r - өзгеретiн нүктелер жазықтықта қалай орналасады?

155. Нүктелердiң ара қашықтықтарын табыңдар: 1) мен , 2) мен , 3) мен

156. Төбелерi , , болатын үшбұрыштың түрiн ажыратындар.

157. ABC үшбұрышының: , , тiкбұрышты екенiн дәлелдеңдер.

158. Төбелерi , , нүктелер болатын үшбұрыштың ауданын табыңдар.

159. Поляр координатасында , , , D нүктелер берiлген. Полюс бас нүкте, поляр өсi абсцисса болатын тiкбұрышты координаталар жүйесiнiң Бұл нүктелердiң координаталары неге тең болады?

160. А(3,-4), В(-1,1), С(0,2), D(5,0) нүктелер полюс координаталар басымен, поляр абсцисса өсiмен беттесетiн поляр координаталар жүйесiндегi координаталарын табыңдар.

161. Поляр өсiнен, нүктеден қашықтығы 5-ке тең болатын нүктенi табыңдар.

162. Бiр төбесi полюсте жататын, үшбұрыштың ауданын табу формуласын қорытын шығарындар.

163. Бiр төбесi полюсте жататын, басқа төбелерi болатын үшбұрыштың ауданын табыңдар.

164. мен нүктелер квадраттын сыбайлас төбелерi болса, квадраттын ауданы неге тең болады.

165. мен квадраттын қарама-қарсы төбелерi болса, квадраттын ауданы неге тең болады?

§3. Координаталар жүйесiн түрлендiру.

Oxy тiкбұрышты координаталар жүйесiнiн басы O¢(x₀,y₀) нүктеге өстерiнiң бағыты өзгертiлмей параллел жылжытымын, өстерi a бұрышқа бұрылғанда O¢x¢y¢ тiк бұрышты координаталар жүйесi шықсын. М нүктенiң Бұл екi системадағы координаталары (x,y) және (x¢, y¢) болса, онда

(1) болады.

Егер де O¢x¢y¢ жүйе Oxy жүйеден тек параллель жылжыту арқылы шыққан болса, онда: (2) болады. Ал, O¢x¢y¢ жүйе Oxy жүйеден a бұрышқа бұру нәтижесiнде болса, онда: (3) болады.

Бұл формулалар координаталар жүйесiн түрлендiру (11-жалпы жағдайдағы, 12-параллел жылжытудағы, 13-бұрудағы) формулалары делiнедi.

Бұл формулардағы x¢ пен y¢-тiң коэффициентерiнен жасалған анықтауыш: болғандықтан, олардың x¢ пен y¢ бiр мәндi табылады (4)

(5) (6)

Мысалы. Оқу бұрышты координаталар жүйесiнiң басын О¢(-1, 2) нүктеге өстерiнiң бағытын сақтай отырып параллел жылжытылған. Содан соң өстерi бұрышқа бұрылған. Сонда О¢x¢y¢ координаталар жүйесi шыққан. А нүктенiң Oxy жүйедегi координаталары (3; 2) болса, оның О¢x¢y¢ жүйедегi координаталары (4; -6) болса, оның Oxy жүйедегi координаталары неге тең болады?

Шешуi: (5) формула бойынша А нүкте үшін координаталарды түрлендiру формуласы мынадай болады:

бұдан

Сонымен А нүктесiнiң жаңа жүйедегi координаталары болады. B нүкте үшін координаталарды түрлендiру формуласы

Сонымен B нүктенiн ескi координаталар жүйесiндегi координаталары болады.

Қайталауға арналған сұрақтар.

1.Координаталар жүйесiн түрлендiрудiң жолдары қандай?

2.Координаталар өстерiнiң бағытын сақтап параллел жылжыту түрлендiруiнiң формуласы қандай?

3.Координаталар өстерiн бұру арқылы координаталар жүйесiн түрлендiру формуласы қандай?

4.Жалпы түрлендiру формуласы қандай?

5.(11) (12) (13) формулардан (15) (16) (17) формуларды қалай шығарып алуға болады?

Жаттығу есептерi.

166. Координаталар өстерiнiң бағытын өзгертпей координаталар басын 1) О¢(3, 4), 2) О¢(3, 2), 3) О¢(-2, 1) нүктелерге көшiрген кездегi координаталар жүйесiн түрлендiру формуласы қандай болады?

167. Координаталар басын өзгертпей өстерiн -ге бұрған кездей координаталар жүйесiн түрлендiру формуласы қандай болады?

168. Координаталар басын О¢(2, -3) нүктеге көшiрiп, координаталар өсiн бұрышқа бұрған кездегi координаталар жүйесiн түрлендiру формуласын жазыңдар.

169. Oxy тiкбұрышты координаталар жүйесiнде A(-3, 5) нүктесi берiлген. Ол жүйенiң өстерiнiң бағыттарын өзгертей координаталар басын 1) О¢(-3, -4), 2) О¢(3, 4), 3) О¢(2, -1) нүктеге көшiрсе А нүктенiн жаңа системадағы координаталары неге тең болады.

170. Oxy тiкбұрышты координаталар жүйесiнiң өстерiнiң бағыттарын өзгертпей оның басын О¢(3, -5) нүктеге көшiргеннен кейiнгi шыққан О¢x¢y¢ координаталар жүйесiнде A(1, 2), B(-2, 0), C(3, 4) нүктелерi берiлген. Бұл нүктелердiң ескi Oxy координаталар жүйесiндегi координаталары неге тең?

171. Координаталарды түрлендiру формуласы мынадай болсын:

1) x = x¢ + 3, y = y¢ + 6 2) x = x¢ + 2, y = y¢ - 3 3) x = x¢, y = y¢ + 2

172. Жаңа жүйенiң бас нүктесiнiң ескi жүйедегi координатасы неге тең?

173. Координаталар өстерi 1) -45°, 2) 90°, 3) 180°-қа бұрылса, онда координаталарды түрлендiру формуласы қандай болады?

174. Oxy тiкбұрышты координаталар жүйесiнде A(3, 6), B(-1, 5) нүктелер берiлген. Бұл координаталар жүйесiнiң өстерiн бұрышқа бұрғанда шыққан координаталар жүйесiнде А мен В-ның координаталары неге тең болады?

175. Oxy координаталар жүйесiн бұрышқа бұрғаннан кейiнгi шыққан О¢x¢y¢ координаталар жүйесiнде болса, онда ол нүктелердi бұрыңғы жүйедегi координаталары неге тең болады?

176. Координаталар жүйесiн бұрышқа бұрғаннан кейiнгi координаталар жүйесiндегi нүкте координатасы болса, ол нүктелердiң “ескi” жүйедегi координаталарын неге тең болады?

177. Нүктелер C(-3, -1), берiлген. Бұл координаталар жүйесiн бұрышқа бұрғаннан кейiнгi бұл нүктелер координаталары неге тең болады?

178. Координаталар төбесi О¢(3, 4) нүктеге көшiрiлiп, өстерi бұрышқа бұрылғаннан сон шыққан жүйеде А(3, -1), В (1, 2), С(10, -20) берiлген, олардың бұрыңғы координаталар жүйесiндегi координаталары неге тең болады?

179. нүктелер берiлген Oxy жүйенiң төбесi О¢(-6, 2) нүктеге көшiрiлiп, өстерi 1) 45°, 2) -45° бұрышқа бұрылған. М мен N нүктенiң жаңа системадағы координаталары неге тең?

180. А(13, 3), В(3, -2), С(1, 8) нүктелер берiлген. Oxy координаталар басы О¢(-2, -7) нүктеге көшiрiлiп, өстерi бұрышқа бұрылған. Нүктелерiнiң жаңа жүйедегi координаталары неге тең?

181. 0 координаталар жүйесiнiң басы О¢(2, 3) нүктеге көшiрiлiп, өстерi a=30°-қа бұрылған. Сонда Oi¢¢j¢¢ координаталар жүйесi шыққан. Ескi жүйедегi А(0, 2) нүктенiн жаңа жүйедегi * нүктенiң ескi координаталар жүйесiндегi координаталарын табыңдар.

III тарау. Сызық

§1. Жазықтықтағы сызық және оның теңдеуi

Жазықтықта тiк бұрышты координаталар жүйесi ендiрiлсе, онда оның жәремiмен нүктенiң жазықтықтағы орнын бiр мәндi анықтауға болады. Ал, Бұл жазықтықта берiлген нүктелер жиынын сипаттайтын, қасиетттерi ол жиынға кiретiн нүктелер арасындағы координаталар арасындағы қатыстар арқылы өрнектеуге мүмкіндiк бередi. Айнымалы х пен z мынадай теңдеумен

F(x,y)=0 (*)

өзара байланыссын. Онда Бұл теңдеудi қанағаттандыратын сансыз көп х,у қос саны болады. Ал, әрбiр х,у қос саны координаталары осы сандар болатын бiр М нүктенi анықтайды. Сөйтiп (*) теңдеудi қанағаттандыратын х,у сандар жҮбының жиыны жазықтықта белгiлi тәртiпте орналасқан нүктелер жиынын жасайды, яғни сызық сызады. Ол сызық бойында жатқан нүктелер координаталары (*) теңдеудi қанағаттандырады, ал онда жатпайтын нүктенiң координаталары ол теңдеудi қанағаттандырмайды. Сондықтан (*) сол сызықтың теңдеуi болдады.

Жалпы F(x,y)=0 (*) теңдеуiмен анықталатын сызық деп, мына екi шартты қанағаттандыратын жазықтық нүктелерiнiң жиыны L-ды айтады:

1-координаталары (*) теңдеудi қанағаттандыратын нүктелер L жиынында жатады.

2-L жиынында жататын әрбiр нүктелердiң координаталары (*) теңдеудi қанағаттандырады.

1-мысал: (1) теңдеумен центрi координаталар бойында жатқан, радиусы r -ге тең шеңбер анықталатынын дәлелдейiк.

20-сызба

Шешуi: Дәлелдеу үшін оның жоғарыдағы екi шартты қанағаттандыратына көз жеткiзу керек.

М(x₀,у₀) нүкте (1) теңдеудi қанағаттандырсын, онда болады, бұдан . Пифагор теоремасы бойынша 21-сызбадан ОМ²=ON²+NM²=x₀² +y₀² = x₀² +r² - x₀²= r², OM=r. Ал, Бұл М нүкте центрден r қашықтықта жатады, яғни шеңбер бойында жатады деген сөз.

Ендi керiсiнше, М(x₀,у₀) нүкте шеңбер бойында жатсын. Онда екi нүктенiң арасын табу формуласы бойынша

бұдан , , яғни М(x₀,у₀) нүктенiң координаты (1) теңдеуiн қанағаттандырады екен. Сондықтан (1) шеңбер теңдеуi болады.

Кез келген фигураны әр түрлі сызықтармен шектелген жазықтық нүктелерiнiң жиыны ретiнде қарастыруға болады. Сол фигурада жатқан нүктелердiң координаталары қанағаттандыратын, ал онда жатпайтын нүктелердiң координаталары қанағаттандырмайтын теңдеулер, теңсiздiктер және олардың жүйелерiн құрып, оларды зерттеу арқылы, берiлген фигураның қасиетттерiн анықтауға болады. Оларды фигураның теңдеудi дейдi. Мысалы, 21-сызбадағы АВСД тiк төртбұрышының теңдеуi

болады.Сызықтың теңдеуiн құру үшін, ол сызықтың барлық нүктелерi бағынатын ортақ қасиеттi анықтау керек. Сол нүктелердiң бiреуiн алып, оның координаталары х пен у-тi нүктелердiң ортақ қасиетiне сүйене отырып, өзара байланысыратын теңдеу құру керек. Сол iздеген сызықтық теңдеуi болдады.Кейбiр жағдайларда нүктенiң координаталары х пен у-тi өзара тiкелей байланытыратын теңдеу құруға мүмкіндiк болмайды. Мұндай жағдайда олардың әрқайсысын үшіншi бiр айнымалы параметрi t- мен байланысырылады: (**) Мұны сызықтың парамерлерi теңдеуi деп атайды. Егер екi сызық қиылысса, онда олардың қиылысу нүктесi ол сызықтардың екеуiндеде жататындықтан, оның координаталары екi сызықтың теңдеуiнде қанағаттандырады.

Керiсiнше, нүкте координаталары екi сызықтың теңдеуiн қанағаттан-дырса, онда ол олардың екеуiндеде жатады. Яғни қиылысу нүктесi болады. Сондықтан (x,y)=0, g(x,y)=0 сызықтардың қиылысу нүктелерiн табу үшін, олардың теңдеулерiн бiр жүйеге алып шешедi. (***)

Бұл жүйенiң нақты шешуi болса, онда олар қиылысады.

Мысалы: х²+у²=25 шеңберiмен х-3=0 түзуi М₁(3,4), M₂(3,-4) екi нүктеде қиылы-сады. Ал, Бұл шеңбер х-6=0 түзуiмен қиылыспайды. Себеп:

жүйенi шешсе у= болады.

Сонымен сызықтың теңдеуi нүкте координаталары х,у –тi өзара байланыстыратын теңдеу болады.Дегенмен х пен у-ті байланыстыратын кез келген теңдеу сызықты анықтай бермейдi.Мысалы: х²+у²=0 теңдеуiн тек бiр ғана О(0,0) нүкте координаталарын қанағаттандырады (демек ол нүктемен бiр ғана нүкте анықталады.) Ал, х²+у²+1=0 теңдеудi бiрде–бiр нүкте коор-динаталары қанағаттандырмайды. Демек ол ешқандай нүктенi анықтамайды.

Жалпы f(x,y)=0 теңдеуi қандайда бiр сызықты анықтау үшін, х-тың әрбiр мәнiне бұл теңдеуден у үшін нақты анықталған мәнi сай келу керек.

Егер сызықтың теңдеуi алгебралық теңдеу болса, онда ол алгебралық сызық деп аталады. Ал, теңдеудегi дәрежесi ол теңдеумен анықталатын сызықтың реттiлiгi делiнедi.

2-мысал. Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде С(a,b) нүкте болатын радиусы r- ге тең шеңбер теңдеуiн құрыңдар.