Берiлген базистегi вектор координаталары 5 страница

Шешiмi: Шеңбердегi барлық нүктелерi бағынатын ортақ қасиет. Ол нүктелердiң барлығының центрден қашықтығы r- ге тең болатындығы. Сол нүктелердiң бiрiн М, Оның координаталарын (x,y) десек, онда ОМ=r болар едi. Бұған екi нүктенiң арақашықтығын табатын формуланы пайдалансақ:

(x- a)²+(y- b)²= r ²(2)

Ендi координаталары осы теңдеудi қанағаттандыратын нүктенiң шеңбер бойында жататындығын дәлелдейiк. М(x,y) нүкте теңдiктi қанағат-тандырсын, яғни (x₀- a)²+(y₀- b)²= r ² болсын. Бұдан (y₀- b)²= r ² - (x₀- a)²

Сонда екi нүктенiң арасын табу бойынша: r болады. Ал Бұл М нүкте шеңбер бойында жатады деген сөз.Сондықтан (2) шеңбер теңдеуi. Шеңбердiң теңдеулерi (1) және (2) екiншi дәрежелі теңдеулер болады, сондықтан ол екiншi реттi сызық болады.

3-мысал: Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде центрi координаталар бойында жататын r радиусты шеңбердiң параметрлiк теңдеуiн құрыңдар.

Шешуi: Оху координаталар жүйесiнiң центрi О радиусы шеңбердi қарастырайық (20-сызба.)

М шеңбер бойынан алынған еркiн нүкте болсын, оның декарттық ко-ординаталары (x,y), радиус-векторы r,оның Ох пен жасайтын бұрышы ц болсын. ONM -нен: x=r cos , y=rsin (3)

бұл теңдеудi тек шеңбер бойында жатқан нүктелер ғана қанағаттандырады және ол шеңбердiң (1) теңдеуiн де қанағаттандырады.

Сондықтан (3) шеңбердiң теңдеуi болады. Оны шеңбердiң параметрлiк теңдеуi дейдi (параметрлiк ц).

Аналитикалық геометрияда берiлген фигураның ортақ қасиетiне сүйенiп, оның теңдеуiн құрумен қатар дайын теңдеуiн зерттеу арқылы ол фигураның түрiн ажырататын қасиеттерiн зерттейдi.

4-мысал: у =x²-1 теңдеуiмен қандай сызық анықталады.

Шешуi: у-тiң әрбiр мәнiне х-тiң екi мәнi сәйкес келдi (x-квадрат дәрежеде енген). Сондықтан сызық у осiне симметриялы болады. Сызық Ох осiнмен екi нүктде А₁(1,0), A₂(-1,0) қиылысады, Оу осiмен бiр нүктеде В(0,-1) қиылысады және ол у-тiң ең аз мәнi болады. х шексiз артқан сайын у-те шексiз арта бередi. Сондықтан ол 23-сызбада көрсетiлгендей сызық болады.

23-сызба

5-мысал. + =2 теңдеуiмен қандай нүктелер жиыны анықталатынын анықтаңдар.

Шешуi: бұл теңдеудi кез келген оң х>0, у>0 қанағаттандырады. Өйткенi тек осы кезде =x, =у болады. Егер х=0, у=0 болса, теңдеу мағынасын жоғалтады. Егер х>0, у<0 немесе х<0, y>0 болса, онда болады да, бұл мәндер теңдеудi қанағаттандырмайды.

Егер х<0, y<0 болса, болады да, бұл кезде теңдеу қанағаттанбайды.

Сонымен теңдеудi тек х>0, y>0 қанағаттандырады. Олай болса берiлген теңдеу 1-ширекте жатқан нүктелердiң жиынын анықтайды екен.

6 -мысал. Поляр осiне параллель болатын және одан а қашықтықта

өтетiн түзудiң поляр теңдеуiн құрыңдар (24-сызба).

Шешуi: поляр координатасы ОР берiлсiн, оған параллель L түзуi а қашықтықта жүргiзiлсiн. Ол түзудiң М - кез келген еркiн нүктесi болсын, оның поляр координаталарын дейiк. Онда а=r cos болады, бұдан

r = теңдеуi iздеген теңдеу болады.

7-мысал. Ұзындығы өзгермейтiн АВ кесiндiнiң бiр ұшы Ох, екiншi ұшы Оу осi бойымен қозғалады. Осы қозғалыс кезiнде ол кесiндiге координата басынан түсiрiлген перпендикулярдың табаны болатын М нүктесiн сызатын сызығының теңдеуiн анықтаңдар. (25,26-сызбалар).

Шешуi: Теңдеудi поляр координатасында құрайық. АВ=2 a, М дейiк. Сонда ОМА-дан r= OА cos ал, АОВ-дан r= OА sin =2asin .

бұлардан: r=2asin cos =asin2 .

Мiне осы iздеген сызық теңдеуi болады. -ге әр түрлi мән берiп, ызықтың графигiн салса, 26-сызба шығады. Оны төрт жапырақты роза дейдi.

Қайталауға арналған сұрақтар.

1.Геометрияда сызық деп ненi түсiнедi?

2.Сызықтың теңдеуi қандай болады?

3.Сызықтың теңдеуiн құру жолы қандай?

4.Сызықтың параметрлiк теңдеуi қандай болады?

5.Сызықтың қиылысу нүктесiн табу жолын негiздеңдер?

6.Алгебралық сызық деп қандай сызықты айтады?

7.Сызықтың реттiлiгi деген не?

Жаттығу есептерi.

1.Теңдеулерi арқылы сызықтарды анықтау

182.Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде берiлген төмендегi теңдеулермен қандай сызықтар анықталады: 1) х=0,2) у=0, 3) ху=0, 4) х+у=0,5) х-у=0.

183.Төмендегi теңдеулермен тiк бұрышты координаталар жүйесiнде қандай сы-зықтар анықталады:1) х²+у²=0, 2) х²-у²=0, 3) х²+у²= a², 4) х²-ху=0,

5) 2x²+3y²+5=0.

184.A(0,5), B(-2,3), C(1, -3/2) нүктелердiң iшiнде мына 2x²-3xy+y-5=0 сызықта жататыны бар ма?

185.Теңдеуi төмендегiдей болатын сызықтардың 1) x+y+5=0, 2) x-y+2=0, 3) x²-y²=0, 4) x(2x+y)-3y²(x+5)=4, 5) ax-by =0, 6) (x²+y²)-2(x-y)=6x² қайсысы координаталар басынан өтедi?

186.x²+y²=16 теңдеуiмен анықталатын сызықта жататын және абсциссасы

1) 4, 2) -3, 3) 0 болатын нүктелердi табыңдар.

187.Сызықтарды салыңдар: 1) x-y=0, 2) x=y-3, 3) 2x+3y=6, 4) y=х³, 5) x²+y²=4, 6) y=(x-1)²+2.

188.Сызықтарды салыңдар: 1) xy=4, 2) y= , 3) (x²+1)y=4x, 4) y=x³.

189.Сызықтардың координаталар осiмен қиылысу нүктелерiн табыңдар: 1) x-3=0, 2) y+4=0, 3) 2x-3y+6=0, 4) x²+y²=4, 5) y²=2(x+1), 6) (x-6)²+(y-9)²=9.

190.Сызықтардың өзара қиылысу нүктелерiн табыңдар: 1) x²+y²=8, x-y=0; 2) x²+y²-6x+4y+18=0, x+y=0; 3) x²+y²-2x+4y-3=0, x²+y²=25;

4) x²+y²-8x+10y+40=0, x²+y²=4.

191.Функцияның графигiн салыңдар:1) y=sinx, 2) y=sin2x, 3) y=cosx, 4) y=cos2x.

192.Поляр координаталар жүйесiнде мынадай теңдеумен берiлген сызықты салыңдар: 1) r =4, 2) , 3) rcos =1, 4) rsin =-3.

193.Архимед спиральдерiн салыңдар: 1) , 2) , 3) , 4) .

194.Гиперболалық спиральдi салыңдар: 1) , 2) , 3) .

195.Кардиоиданы салыңдар .

196.Төмендегi теңдеумен анықталатын нүктелер жиынын зерттеңдер: 1) , 2) , 3) .

197.Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде төмендегi теңсiздiктер мен теңдеулер жүйесi арқылы анықталатын жүйелердiң жиынтығын сызбада көрсетiңдер: 1) , 2) , 3) , 4) .

198.Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде координаталары теңдеуiн қанағаттандыратын нүктелер жиынын анықтаңдар.

199.Қос теңдеулердiң қайсысы бiр теңдеулер жиынын анықтайды:1) және , 2) және , 3) және .

200.Мына теңдеулермен тiк бұрышты координаталар жүйесiнде қандай геоме-триялық бейне анықталады:1) , 2) , 3) , 4) .

201.Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде нүктелер жиыны мынадай параметрлiк теңдеумен берiлген: 1) , 2) , 3) , 4) . Олардың тiк бұрышты декарттық координатадағы теңдеуiн тауып, жиынның түрiн ажыратыңдар.

2. Сызықтардың теңдеулерін құрыңдар

202.Координаталар остерінен теңдей қашықтықта жататын нүктелердің жиынынң теңдеуін құрып, ол жиынның түрін ажыратыңдар,

203.Абцисса осінен b-ға тең қашықтықта орналасқан нүктелер жиыны не болады, теңдеуі қандай?

204.Ордината осiнен a- ға тең қашықтықта орналасатын нүктелер жиыны не болады, теңдеуi қандай?

205.Координата осьтерiнен координаттарының квадраттарының қосындысы 5-ке тең болатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн табыңдар.

206.Координаталар басынан қашықтығы 4-ке тең нүктелер жиыны қандай геометриялық бейне болады және оның теңдеуi қандай?

207.Координаталар осьтерiнен қашықтықтарының қосындысы 8-ге тең болатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

208.Нүктелерден: 1) А(2,1) мен В(-1,4), 2) С(-3,5) мен D(1,-1) қашықтықта жатқан нүктелер жиынын анықтап, теңдеуiн құрыңдар.

209.А(1,0) мен В(4,0) нүктелерiнiң қашықтығынан 2 есе аз болатын нүктелер жиыны қандай фигура болады, теңдеуi қандай?

210.А(2,-4), В(4,5), С(3,2) нүктелерiнен қашықтығы 7-ге тең болатын нүктелер жиынын тауып, оның теңдеуiн құрыңдар.

211.А(-1,3) мен В(5,-3) нүктелер арасын қатынаста бөлетiн нүктеден, АВ-ға перпендикуляр етiп жүргiзiлген түзудiң теңдеуi қандай болады?

212.А(-3,0) және В(3,0) нүктелерден қашықтықтарының қосындысы: 1) 10-ға; 2) 12-ге тең болатын нүктелер жиынының теңдеуi қандай болады?

213.А(-5,0) және В(5,0) нүктелерден қашықтықтарының айырымы тұрақты: 1) 6-ға; 2) 4-ке тең болатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

214.М нүкте координаталары t -ның кез келген моментiнде мына формуламен:

анықталатындай болып құралады. Оның қозғалысының теңдеуiн құрыңдар.

215. 1) М(3,0) нүкте мен х+3=0 түзуден, 2) N(3,0) нүкте мен х+5=0 түзуден

теңдей қашықтықта орналасатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

216. BM²-CM²=5 болатын М нүктелер жиынын анықтаңдар, егер В(3,-1), С(1,2) болса.

217. Табандары ортақ a =12 болатын, ал басқа екi қабырғасының квадраттарының қосындысы b²+c² = 100 болатын үшбұрыштардың ортақ емес төбелерiнiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

218. М(-5,1), N(3,5) нүктелерi берiлген. АВ кесiндi тiк бұрышпен көрiнетiн нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

219. М(-4,0) нүктеге дейiнгi қашықтығының 5х+16=0 түзуге дейiнгi қашықтығына қатынасы болатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

220. М(-5,0) нүктеге дейiнгi қашықтығының 5х+16=0 түзуге дейiнгi қашықты-ғына қатынасы болатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

221. Екi шеңберден және ең қысқа қашықтықтары тең болатын нүктелердiң жиынының теңдеуiн құрыңдар.

222. М нүкте теңдеуi болатын сызық бойымен қозғалады. ОМ кесiндiнiң Ох осiмен жасайтын бұрышы -ны параметр ретiнде алып, М нүктенiң қозғалысының параметрлiк теңдеуiн анықтаңдар.

223. М нүктеге сызығы бойымен қозғалады. Параметр үшiн: 1) М нүктенiң ординатасын, 2) ОМ кесiндiнiң Ох осiмен жасайтын бұрышын алған кездегi М нүктенiң қозғалысының параметрлiк теңдеуiн құрыңдар.

224. Сызықтың параметрлiк теңдеуi берiлген: Бұл теңдеудi f(x,y)=0 түрiне келтiрiңдер.

225. Полюстен шығатын сәуле поляр осiмен бұрыш жасайды. Осы сәуленiң поляр координатасындағы теңдеуiн құрыңдар.

226. Поляр осiне перпендикуляр түзу ол осьтен 5-ке тең кесiндi қиып түседi. Сол түзудiң поляр координатасындағы теңдеуiн құрыңдар.

227. Поляр осiне параллель және одан 0,5 қашықтықтан өтетiн түзудегi поляр координатасындағы теңдеуiн құрыңдар.

228. Радиусы 5-ке тең шеңбер поляр осiмен полюсте жанасады. Осы шеңбердiң поляр координатасындағы теңдеуiн құрыңдар.

229. Центрi поляр осiнде жататын радиусы 3-ке тең шеңбер полюстен өтедi. Осы шеңбердiң поляр координатасындағы теңдеуiн құрыңдар.

230. Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде: 1) x-3y=0, 2) y+5=0, 3) x²+y²=16, 4) xy=10 сызықтар берiлген. Олардың полюсi координата басымен, поляр осi абциса осiмен дәл келетiн жалпыланған поляр координатасындағы теңдеуiн жазыңдар.

231. Жалпыланған поляр координатасында:

теңдеумен нүктелер жиыны берiлген. Ол жиынның координталар басы полюспен, абцисса осi поляр осiмен беттесетiн тiк бұрышты координаталар жүйесiндегi теңдеуiн табыңдар.

IV ТАРАУ. Сызықтық геметриялық бейнелер

§1. Жазықтықтағы түзу сызық

Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде кез келген түзудiң абцисса осiнiң оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенсын

(1)

ол түзудiң бұрыштық коэффициентi дейдi.

Түзуге параллель кез келген вектор ол түзудiң бағыттаушы векторы делiнедi, оның екiншi координатасының бiрiншi координатасына қаты-насы түзудiң бұрыштық коэффициентiне тең болады.

Түзудiң бағыттаушы векторы болса, онда ол түзудiң бұрыштық коэффициентi: (2) формуламен анықталады. Оу осiне параллель түзудiң бұрыштық коэффициентi болмайды, өйткенi болуы керек.

Екi нүктемен А(х₁,у₁), В(х₂,у₂) анықталатын түзудiң бұрыштық коэффициентi (3) формуламен табылады.

Екi түзудiң арасындағы бұрыш , ол түзулердiң бұрыштық коэффициенттерi арқылы былайша табылады: (4)

Ол түзулер өзара паралель болса, онда , (5)перпендикуляр болса, онда (6) болады.

Тiк бұрышты Оху координаталар жүйесiнде М₀(x₀,y₀,z₀) нүкте,

вектор берiлсе, онда М₀ нүктеден өтетiн және векторға параллель болатын түзудiң теңдеуi: (7) болады.

Оны былайша да жазуға болады: (8)

(9) (10)

Мұндағы (9)-ды берiлген нүктеден берiлген бағытта өтетiн түзу теңдеуi, (11)-дi түзудiң параметрлiк теңдеуi дейдi.

Түзудiң бұрыштық коэффициентi k болса және ол ордината осiнен l кесiндi қиып түсетiн болса, онда түзу теңдеуi былайша жазылады: (11) Мұны түзудiң бұрыштық коэффициенттi теңдеуi дейдi. Координаталар осьтерiнен a және b кесiндi қиып түсетiн түзу теңдеуi: (12)болады. Мұны түзудiң кесiндiдегi теңдеуi дейдi. Екi М₁(х₁,у₁), М₂(х₂,у₂) нүктенi басып өтетiн түзу теңдеуi (3) және (8) бойынша (13) болады.

Ал түзудiң жалпы теңдеуi: (14) формуламен берiледi.

Бұл түзудiң бағыттаушы векторы: , (15) бұрыштық коэф-фициентi: (16) нормаль векторы: (17) формулалармен табылады.

Егер де (14) теңдеудегi үшмүшелiктiң ең болмағанда бiреуi нөлге айналып кетсе, онда ол түзудiң толымсыз теңдеуi делiнедi.

(18)

координата басынан өтетiн түзудiң теңдеуi:

және (19)

Теңдеулер Оу осiне және Ох осiне параллель түзулердiң теңдеуi болады.

Ал, (20)

теңдеулер абцисса, ордината осьтерiнiң теңдеуi болады.

Егер түзу теңдеуiндегi айнымалылардың коэффициенттерiнiң квадраттарының қосындысы 1-ге тең болса, ол теңдеу түзудiң нормаль теңдеуi делiнедi.

Түзудiң нормаль теңдеуi мынадай болады:

(21)

Мұндағы Р координата басынан түзуге жүргiзiлген перпендику-лярдың Үзындығы, ал сол перпендикулярдың Ох осiмен жасайтын оң бұрышы.

Түзудiң (14) түрдегi жалпы теңдеуiн нормальдаушы көбейткiш делiнетiн мына өрнекке: (22)көбейту арқылы нормаль түрге келтiруге болады: (23) (21) мен (23) тек: (24)