Некоторые позиционные задачи пересечения многогранника с прямой и плоскостью

Плоскость пересекает многогранную поверхность по плоской замкнутой ломаной линии, называемой фигурой сечения. Вершины и стороны фигуры сечения определяются пересечением заданной плоскости соответственно с рёбрами и гранями многоугольника. То есть многократно решается задача или на пересечение двух плоскостей (граней многогранника с секущей плоскостью), или на пересечение прямой с плоскостью (рёбер многогранника с секущей плоскостью). Это уже известные задачи.

Задача: Дана треугольная наклонная пирамида и секущая фронтально проецирующая плоскость å (рис. 6.1). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.1.

Решение: Так как секущая плоскость является фронтально проецирующей, то фронтальная проекция фигуры сечения (1₂2₂3₂) совпадет со следом плоскости å₂. Фигура сечения является треугольником и определяется на пересечении следа плоскости с соответствующими ребрами пирамиды. По линиям связи определяем горизонтальные проекции вершин треугольника (1₁2₁3₁) на соответствующих ребрах пирамиды. Далее определяется видимость звеньев линии сечения в зависимости от видимости граней пирамиды на горизонтальной проекции.

Задача: Дана прямая треугольная призма и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.2). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.2. Пересечение многогранника плоскостью.

Решение: Так как боковые грани призмы являются горизонтально проецирующими плоскостями, то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы (А ₁ В ₁ С ₁) º (1₁2₁3₁). Решение задачи сводится к определению второй проекции точек сечения, принадлежащих и плоскости Т и призме.

Для этого воспользуемся фронталями плоскости ¦, проведенными через соответствующие точки 1₁ º В ₁, 2₁ º А ₁, 3₁ º С ₁. Фронтальную проекцию фигуры сечения (1₂2₂3₂) определяем на пересечении фронтальных проекций фронталей с соответствующими рёбрами призмы.

Определяем видимость звеньев линии сечения.

Задача: Дана прямоугольная пирамида и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.3). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.3.

Решение: Ребра и грани пирамиды являются геометрическими объектами общего положения. Определим точки фигуры пересечения, решая несколько раз задачу на пересечение прямой с плоскостью (ребра пирамиды с секущей плоскостью). Для этого заключаем последовательно каждое ребро во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость: ребро АS - в плоскость D (D₂ º А ₂ S ₂), ребро ВS - в плоскость l (l₂ º В ₂ S ₂), ребро СS - в плоскость å (å₂ º С ₂ S ₂). Определяем линию пересечения каждой вспомогательной плоскости с секущей плоскостью – линии (1₁2₁), (3₁4₁), (5₁6₁). На пересечении линий пересечения и проекций соответствующих ребер определяем искомые точки фигуры сечения (D ₁ E ₁ F ₁), (D ₂ E ₂ F ₂).

Задача: Дана прямоугольная пирамида и прямая общего положения l (рис. 6.4). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Решение: Так как прямая l является прямой общего положения, задача решается аналогично задаче нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Заключаем прямую l во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость å (å₂ º l ₂). Строим сечение пирамиды вспомогательной плоскостью å (аналогично задаче рис. 6.1). На пересечении горизонтальной проекции прямой l ₁ и контуром сечения (1₁2₁3₁) находим искомые точки D и E. Определяем видимость прямой относительно точек пересечения с пирамидой.