Интерпретация формул

Под интерпретацией следует понимать систему, состоящую из не­пустого множества V, называемом универсумом, и однозначного отображения на двухэлементное множество {0, 1}, кото­рое каждому предикатному символу Pⁿ (t ₁, t ₂,¼, t_n) ставит в соот­ветствие n -местное отношение на множестве V, каждому функциональному символу f ⁿ_i (t ₁, t ₂,¼, t_n) – n -местную операцию на множестве V, каждой предметной постоянной – элемент множе­ства V.

При заданной интерпретации предметные переменные рассматриваются как переменные, пробегающие область универсума V, а символам логических и кванторных операций придается их обычный смысл.

Например, если универсум задан множеством целых чисел, то для $ x $ y $ z (P ²(+(x, y), z))= «существуют числа x, y, z, для которых z больше суммы чисел х и у», то при х =2, у =3, z =10 имеем двухместную операцию +(2,3)=5 и двухместное отношение между целым числом 10 и значением операции +(2,3)=5. Отображение P ²(5;10) на двухэлементное множество дает значение 1. При х =2, у =3, z =4 имеем +(2,3)=5 и P ²(5; 4)=0.

Другими словами, интерпретация функциональных символов опре­деляется по значениям функции на универсуме, заданном на множестве термов, входящих аргументами в эту функ­цию, а интерпретация предикатных символов по отображению на двухэлементное множество {0, 1}.

Особо следует рассмотреть влияние свободных переменных на интерпретацию формул исчисления предикатов.

Формула, не содержащая свободных переменных, называется замк­нутой и представляет собой высказывание об элементах, функциях и отношениях, которое принимает значение 1 или 0. Формула, содержащая свободные переменные, называется открытой и представляет собой отношение, заданное на множестве V. Это отношение может быть истинным для одних значений из области интепретации и ложным для других.