Закрепление усвоенных умений и навыков

А класс Геометрия

09.12.2014

Урок № 22

Тема урока:

Средняя линия треугольника и ее свойства.

Записать в тетради число, тему урока

Актуализация опорных знаний

Закрепление усвоенных умений и навыков

Задача 1. Докажите, что периметр одного треугольника, образованного средними линиями второго треугольника, вдвое меньшепериметра второго треугольника.

Доказательство

Пусть ABC (рис. 7) — данный треугольник; DE, EF, DF — его средние линии. По свойству средней линии треугольника DE= AC;

DF= BC; EF = AB. P_ΔDEF = AC+BC+AB)= P_{Δ ABC}, что и требовалось доказать.

Задача 2. Периметр первого треугольника равен 76 см. Стороны второго треугольника, образованного средними линиями первого треугольника, относятся как 4:7:8. Найдите стороны первого треугольника.

Решение

Из доказанной задачи 1 следует, что периметр второго треугольника, образованного средними линиями первого треугольника, равен 76:2 =38 (см). Пусть x — коэффициент пропорциональности, тогда имеем уравнение:

4x +7x +8x =38,

19x =38,

x =2.

Значит, стороны второго треугольника, образованного средними линиями,—

8 см, 14 см, 16 см, а стороны первого треугольника равны 16 см, 28 см и 32см.

Ответ: 16 см, 28 см, 32 см.

Задача 3. В четырехугольнике ABCD угол между диагоналями AC и BD равен 60º, AC =BD =10 см. Найдите меньшую диагональ четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон четырехугольника ABCD.

Решение

Пусть ABCD (рис. 8) — данный четырехугольник; M, N, P, L — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Как известно, четырехугольник MNPL — ромб, так как это параллелограмм с равными сторонами

(MN=NP=PL=LM=5 см= AC).

Пусть точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию ∠BOA =60º. Четырехугольник MKOF — параллелограмм, так как MF ǁ OK и FO =MK. Значит, ∠NML =∠KOF =60º как противолежащие углы параллелограмма. Отсюда стороны ромба MN, ML и его диагональ NL образуют равносторонний треугольник MNL. Значит, NL =MN =ML =5 см. Ответ: 5 см.

Дополнительные задачи

Задача 4. Определите вид четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон: а) квадрата; б) четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями.

Задача 5. В четырехугольнике последовательно соединены отрезками середины сторон. В свою очередь, в образовавшемся четырехугольнике

середины его сторон тоже последовательно соединены отрезками. Полученный таким образом четырехугольник — ромб. Докажите, что диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны.