Формирование умений и навыков

1 2

Решение задач.

Записать в тетради число и тему урока.

Проверка домашнего задания

Формирование умений и навыков

Применение теоремы косинусов

Пользуясь теоремой косинусов, можно доказать несколько важных теорем.

Например: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Докажем эту теорему, используя теорему косинусов.

Решение задач

1. Стороны параллелограмма равны 23 см и 11 см. Найдите диагонали параллелограмма, если они относятся как 2:3. (Ответ. 20 см и 30 см.)

2. Диагонали параллелограмма равны 12 см и 14 см, а разность сторон равна 4 см. Найдите стороны параллелограмма. (Ответ. 7 см и 11 см.)

3. Две стороны треугольника равны 7 см и 11 см, а медиана, проведенная к третьей, равна 6 см. Найдите третью сторону.

Решение

Пусть в треугольнике ABC (рис. 17) AB =7 см, BC =11 см,

BD — медиана (AD = DC), BD =6.

Продолжим медиану BD и отложим на продолжении отрезок DF

так, что DF = BD. Четырехугольник ABCF — параллелограмм (поскольку диагонали AC и BF точкой пересечения делятся пополам),

тогда AC ² + BF ²=2⋅(AB ² + BC ²). Отсюда AC ² +12²=2⋅(7² +11²),

тогда AC ² +144 =340; AC ² =196; AC = =14 (см).

Ответ. 14 см.

4. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма квадратов диагоналей в 2 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон.

5. По трем сторонам a, b, c треугольника ABC найдите его медианы m_a, m_b, m_c (m_a, m_b, m_c — медианы, проведенные к сторонам a, b, c соответственно).

Решение

6. По трем медианам m_a, m_b, m_c треугольника ABC найдите его стороны a, b, c (m_a, m_b, m_c — медианы, проведенные к сторонам a, b, c соответственно).