Изучение нового материала

Правильные многоугольники.

Записать в тетради число и тему урока

Повторение и обобщение знаний учащихся о многоугольниках

Фронтальная беседа

1. Сформулируйте определение многоугольника; вершин; сторон; диагоналей многоугольника.

2. Какие многоугольники вам известны?

3. Сколько получается треугольников, если в n-угольнике (n >3) провести все диагонали из одной вершины?

4. Что такое угол многоугольника? внешний угол многоугольника?

5. Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника?

6. Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?

7. У выпуклого многоугольника все внешние углы прямые. Какой это многоугольник?

8. Можно ли построить четырехугольник с двумя прямыми и двумя тупыми углами?

9. Может ли наименьший угол четырехугольника составлять 91º?

10. Можно ли построить выпуклый пятиугольник, все углы которого прямые? Ответ объясните.

Изучение нового материала

Определение правильного многоугольника

Среди разнообразия выпуклых многоугольников выделяют многоугольники, в которых все стороны равны и все углы равны. Такие многоугольники называют правильными.

Задание:

1) Какой треугольник называется правильным?

2) Какой четырехугольник называется правильным?

3) Найдите углы правильного шестиугольника.

4) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, внешний угол которого равен 18º?

5) Найдите градусную меру угла правильного n-угольника.

6) Найдите градусную меру внешнего угла правильного n-угольника.

7) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол при его вершине равен 108º?

Повторение сведений о вписанных и описанных треугольниках

Вопросы:

1) Какая окружность называется описанной около треугольника? Что можно сказать о таком треугольнике (по отношению к окружности)?

2) Можно ли около любого треугольника описать окружность?

3) Где располагается центр окружности, описанной около треугольника?

4) Какая окружность называется вписанной в треугольник? Что можно сказать о таком треугольнике (по отношению к окружности)?

5) В любой ли треугольник можно вписать окружность?

6) Где располагается центр окружности, вписанной в треугольник?

Определение вписанных и описанных многоугольников

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Вопросы:

1) Где располагается центр окружности, описанной около многоугольника? Почему?

2) Всегда ли можно описать окружность около данного многоугольника?

3) Постройте прямоугольник и опишите окружность около него.

4) Где расположен центр окружности, вписанной в многоугольник? Почему?

5) Всегда ли можно вписать окружность в данный многоугольник?

6) Постройте ромб и впишите в него окружность.

7) Постройте правильный четырехугольник. Впишите в него окружность и опишите окружность около него.

Изучение теоремы

Теорема. Правильный многоугольник является вписанным

в окружность и описанным около окружности.



Вопросы по рис. 72.

1. Почему биссектрисы углов A и B пересекаются?

2. α— угол многоугольника. Почему равны углы OAB и OBA?

3. Определите вид треугольника AOB. Обоснуйте ответ.

4. Почему Δ ABO =ΔBOC, ΔBOC =ΔCOD?

5. Почему OA =OB =OC =OD? Какой вывод можно сделать из этого равенства?

6. Почему высоты треугольников AOB, BOC, COD, проведенные из точки O, равны?

7. Как будет располагаться окружность с центром в точке O и радиусом, равным высоте треугольника, по отношению к многоугольнику? Почему?

Следует отметить, что из этой теоремы можно сформулировать следующие следствия.

1) Все биссектрисы углов правильного многоугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.

2) Все срединные перпендикуляры, проведенные к сторонам правильного многоугольника, пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности.

3) Центры вписанной и описанной окружностей в правильном многоугольнике совпадают.

4) Отрезок, соединяющий центр правильного многоугольника с серединой стороны многоугольника, является радиусом вписанной окружности. Этот отрезок называется апофемой правильного многоугольника.

Определение центрального угла правильного многоугольника

Угол, под которым видно сторону правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.

Задание:

1) Чему равен центральный угол правильного треугольника?

2) Чему равен центральный угол правильного четырехугольника?

3) Чему равен центральный угол правильного n-угольника?

4) Докажите, что центральный угол правильного n-угольника равен внешнему углу этого многоугольника.