2015-04-12
488
Если дан многочлен n -ой степени, n>0,
f(x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n
с произвольными комплексными коэффициентами и если k - любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений x верно неравенство:
|a 0 x n |>k|a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +….+a n | (2)
Доказательсво.
Пусть А=max(
), тогда
пологая | x| >1, получим
откуда
следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и
Лемма №2 доказана.
Лемма №3.
Доказательство.
(3)
применим лемму 2: при k=2 существует такое N 1 , что при |x|> N 1
|a 0 x n |>2|a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +….+a n |
откуда
|a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +….+a n |<|a 0 x n |/2
тогда из (3)
при |x|>N=max(N 1 ,N 2 ) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.
