Доказательство. Предположим, что это не верно тогда

Предположим, что это не верно тогда

получена бесконечная ограниченная последовательность x _n ,

из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , пусть ее предел равен x ₀ . Так как круг Е замкнут, то x ₀ пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна

получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености f(x).

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и

максимума.

Доказательство.

Докажем это утверждение для максимума.

Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно существует M = sup{ f(x)}. Рассмотрим функцию .

Если f(x) не достигает своего максимума, то M> f(x) следовательно M-f(x)>0, следовательно g(x) непрерывна в Е.

Полученое противоречит тому, что M = sup{ f(x)}. Следовательно функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.