Схема межотраслевого баланса

В модели межотраслевого баланса все народное хозяйство представляется в виде совокупности n отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая (табл. 1).

Таблица 1. Схема межотраслевого баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция, Y	Валовая продукция, Х
		¼	n
	x ₁₁	x ₁₂	¼	x _{1 n}	Y ₁	X ₁
	x ₂₁	x ₂₂	¼	x _{2 n}	Y ₂	X ₂
¼	¼	¼	...	¼	¼	¼
n	x_n ₁	x_n ₂	¼	x_nn	Y_n	X_n

Обозначим валовую продукцию, произведенную n отраслями, соответственно через X ₁, X ₂, …, X_n. Вся продукция i -отрасли (Х_i) разделяется на промежуточную или межотраслевую (x_i_j) и конечную (Y_i), где i и j – соответственно номера отраслей производящих и потребляющих:

Х ₁ = х ₁₁ + х ₁₂ + … + x _{1 n} + Y ₁,

Х ₂ = x ₂₁ + x ₂₂ + … + x ₂ _n + Y ₂,

… (1)

Х_n = x_n ₁ + x_n ₂ + … + x_nn + Y_n.

Промежуточную продукцию x_i_j все отрасли потребляют внутри себя для текущего производства конечной продукции. Конечная продукция Y_i выходит из производства в область конечного использования (на рынок, в другие внешние производства).

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет технологическая матрица-таблица, составленная из коэффициентов (нормативов) прямых затрат на производство единицы продукции, имеет следующий вид:

, (2)

где ; ; .

Предполагается, что для производства единицы продукции в j -й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i -й отрасли, равной a_ij. Эти затраты не зависят от объема производства в отрасли и являются стабильной величиной во времени. Величины a_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат.

Коэффициенты прямых материальных затрат a_ij показывают количество продукции i -й отрасли, использованной при производстве единицы продукции j -й отрасли.

Объем промежуточной продукции x_ij можно выразить через коэффициенты прямых материальных затрат a_ij и объем валовой продукции X_j следующим образом:

x_ij = a_ij X_j.

Тогда систему уравнений (1) с учетом коэффициентов прямых материальных затрат можно записать в следующем виде:

Х ₁ = а ₁₁ X ₁ + а ₁₂ X ₂ + … + а _{1 n} X_n + Y ₁,

Х ₂ = а ₂₁ X ₁ + а ₂₂ X ₂ + … + а _{2 n} X_n +Y ₂, (3)

…

Х_n = а_n ₁ X ₁ + а_n ₂ X ₂ + … + а_nn X_n + Y_n,

или

. (4)

Введем обозначения: Х – вектор-столбец валовой продукции, Y – вектор столбец конечной продукции:

, .

Тогда систему уравнений (3) можно записать в матричной форме:

X = AX + Y, (5)

Система уравнений (3) или в матричной форме (5) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса.

Варианты расчетов по балансовой модели

С помощью балансовой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли X, можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли Y по формуле

Y = (Е – А) Х. (6)

2. Задав величины конечной продукции каждой отрасли Y, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X следующим образом:

Х = (Е – A)^–1 Y, (7)

где Е – единичная матрица размерности n ´ n; (Е – А)^–1 – матрица, обратная к матрице (Е – А).

3. Для ряда отраслей, задав величины валовой продукции Х, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции Y, можно найти величины конечной продукции первых отраслей Y и объемы валовой продукции вторых отраслей X. В этом варианте расчета удобнее использовать систему линейных уравнений (3).

Введем обозначение P = (Е – А)^–1, тогда систему уравнений в матричной форме (1.7) можно записать в следующем виде:

X = PY. (8)

Матрица называется матрицей коэффициентов полных материальных затрат и включает в себя все затраты.

Коэффициенты полных материальных затрат p_ij показывают, какое количество продукции i -й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j -й отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат p_ij применяются также для определения прироста объемов валовой продукции при изменении объемов конечной продукции:

, (9)