Получение моделей систем с помощью метода сигнальных графов

Для систем со сложными взаимосвязями параметров состояния метод структурных преобразований может оказаться достаточно трудоемким.

Метод сигнальных графов, разработанный Мэзоном, позволяет вместо операций по упрощению структурных схем воспользоваться формулой расчета передаточных функций систем.

Сигнальный граф – это диаграмма, состоящая из точек (узлов), соединенных направленными ветвями, и являющаяся графическим представлением системы дифференциальных уравнений или передаточных функций, описывающих работу АСР. По графическому изображению данная диаграмма близка к структурным схемам.

То, что на структурных схемах изображают стрелки: параметры состояния процессов в системе, на графе изображается точками – узлами графа.

То, что изображается на структурных схемах блоками с передаточными функциями, на сигнальном графе обозначается линиями, связывающими два узла. Эти линии называются ветвями.

Каждая ветвь характеризуется передачей ветви, соответствующей передаточной функции на структурных схемах.

Путь – это ветвь или последовательность ветвей, связывающих два узла графа. Передача пути равна произведению передачи входящих в него ветвей.

Контур обратной связи – замкнутый путь, состоящий либо из ряда ветвей, возвращающихся в исходный узел, либо из одной ветви, образующей петлю.

Существует три типа узлов:

источники – узлы с выходящими ветвями,

простые каскадные узлы – имеющие и входящие и выходящие ветви,

стоки - узлы с входящими ветвями.

Источники соответствуют входным сигналам, а стоки – выходным сигналам системы.

Формула Мэзона для отыскания передаточных функций систем

имеет следующий вид

(18.1)

где - передача (передаточная функция) к -того пути из в ,

- определитель графа, который вычисляется по формуле

= 1- (18.2)

где - величина передачи q-го контура.

Правило для вычисления следующее:

= 1 – (сумма передач всех контуров) + (сумма передач всех контуров, не касающихся друг друга, перемноженных попарно) – (сумма произведения передач всех контуров, из трех, не касающихся друг друга контуров)+…

- адьюнкт - определитель для контуров, не касающихся к – того пути. Он определяется из определителя графа выбрасыванием передач контуров, касающихся k - того пути.

Преобразуем структурную схему, показанную на рис. 18.1,а в сигнальный граф рис. 18.1,б.

Найдем передаточную функцию системы Ф(p)=Y(p)\ G(p).

Сначала определим пути из G(p) в Y(p).

Путь 1: P₁= W₁(p)W₂(p)W₃(p)W₅(p).

Три контура: L₁= W₃(p)W₄(p),

L₂=-W₁(p)W₂(p)W₃(p)W₅(p)W₆(p),

L₃ =- W₁(p)W₂(p)W₃(p)W₅(p)W₇(p).

Определитель графа:

D = 1 – (L₁ +L₂ +L₃).

Все контуры касаются друг друга, поэтому их попарные произведения отсутствуют.

Адъюнкт пути, которого касаются все имеющиеся контуры

D₁=1.

Пользуясь формулой Мэзона, получим

Ф(p)=

Найдем передаточную функцию системы по ошибке: Ф_х(p)=x(p)/g(p).

Определитель графа D будет тот же самый, что и у функции Ф(p), так как знаменатель отражает собственные свойства системы.

Путь из узла-источника g в узел x P₁ =1.

Адъюнкт пути D₁=1 – L₁. Остальных контуров L₂ L₃ данный путь касается в одной точке.

Таким образом имеем

Ф_х(p)= = .

Найдем передаточную функцию системы по возмущению: Ф_f(p)=y(p)/f(p)

Путь P₁ = _W_F(p).

Адъюнкт пути D₁=1 – L_1.

Передаточная функция будет равна

Ф_f(p) = .

При необходимости исследовать работу любого из элементов системы определяется соответствующая передаточная функция по задающему или по возмущающему воздействию , где x_i(p) выходной сигнал i -го элемента системы.