Доверительные интервалы

Построенные оценки параметров уравнения регрессии являются точечтными оценками. Доверительные интервалы для парметров уравнения регрессии являются их интервальными оценками.

100(1-a)% -ный доверительный интервал для :

,

(49)

100(1-a)% - ный доверительный интервал для a:

.

(50)

Статистика t_1-a/2(n-2) имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы.

Если интерпретируется как наилучшая оценка единственного значения y, соответствующего х = х_i (см. (42)), а также число наблюдений достаточно велико (по крайней мере, больше 30), то для может быть построен, так называемый, «быстрый» доверительный интервал.

100(1-a)% - ный доверительный интервал для :

.

(51)

где s – стандартная ошибка оценки.

Таблица дисперсионного анализа для простой линейной регрессии

Дисперсию оценки можно также найти из таблицы дисперсионного анализа, которую можно получить стандартными средствами в большинстве систем обработки статистических данных (табл. 2).

Величина s² идентична среднему квадрату отклонения (остатка) от регрессии . Она вычисляется как отношение остаточной суммы квадратов к остаточному числу степеней свободы .

Таблица 2 – Таблица дисперсионного анализа для простой линейной регрессии

Источник дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат	F-отношение
Регрессия
Отклонение от регрессии				-
Полная дисперсия			-	-

Обусловленная регрессией сумма квадратов получила такое название потому, что ее можно выразить через оценку коэффициента регрессии:

.

(52)

Итак, чем больше коэффициент регрессии, тем больше сумма квадратов, «обусловленная регрессией».

Последняя колонка таблицы, называемая F -отношение, может быть использована для проверки гипотез, если ошибки предполагаются нормально распределенными.

Для проверки гипотезы о том, что простая линейная регрессия y по x отсутствует, то есть гипотезы Н₀: β=0 против альтернативной гипотезы Н₁: β≠0, мы используем F -отношение из таблицы дисперсионного анализа:

.

(53)

Если верна нулевая гипотеза, то имеет F -распределение с и степенями свободы. Соответствующее критической области р -значение вычисляется стандартными средствами обработки статистических данных автоматически.

Мы отвергаем нулевую гипотезу, если р -значение меньше, чем уровень значимости a. В этом случае мы говорим о том, что регрессионная зависимость существует.