Модель множественной линейной регрессии

Множественный регрессионный анализ является развитием парного регрессионного анализа применительно к тем случаям, когда зависимая переменная гипотетически связана с более чем одной независимой переменной. Здесь мы сталкиваемся с двумя новыми проблемами. Во-первых, при оценке влияния данной независимой переменной на зависимую переменную приходится решать проблему разграничения ее воздействия и воздействий других независимых переменных. Во-вторых, решается проблему спецификации модели. Часто предполагается, что несколько переменных могут оказывать влияние на зависимую переменную, с другой стороны, некоторые переменные могут не подходить для модели. Необходимо решить, какие из них следует включить в уравнение регрессии, а какие ‑ исключить из него. Подробное рассмотрение этих проблем можно найти в работах [1, 2, 3, 4].

Формализуем проблему предсказания одной переменной с помощью переменных . Традиционно переменная называется зависимой переменной, а переменные ‑ независимыми переменными. Модель множественной линейной регрессии имеет вид:

,

(54)

где ‑ параметры модели;

‑ случайная ошибка.

Коэффициент регрессии при каждой переменной х дает оценку ее влияния на величину у в случае неизменности влияния на нее всех остальных переменных х.

Уравнение для оценки модели имеет вид:

,

(55)

где ‑ точечные оценки параметров модели .

Как и в случае парной регрессии оценка проводится на выборке объема n.

Наилучшие оценки получаются при минимизации суммы квадратов остатков между фактическим и прогнозируемым значением зависимой переменной. Для вычисления используется метод наименьших квадратов.

Рассмотрим пример, в котором определяются факторы совокупного спроса на продукты питания. Расширим первоначальную модель, включив учет влияния ценовых изменений на спрос, и допустим, что истинную зависимость можно выразить следующим образом где у — общая величина расходов на питание, х — располагаемый личный доход, а р — цена продуктов питания.

Это предположение, разумеется, является значительным упрощением как с точки зрения состава независимых переменных, включенных в зависимость, так и с точки зрения математической формулы связи. Кроме того, мы неявно предполагаем наличие лишь прямой связи за счет допущения о том, что расходы на питание не влияют на доход и цену. Это могло быть в том случае, если бы цены определялись на мировом рынке, но в большинстве ситуаций более реально допустить, что расходы на продукты и их цены определяются совместно в результате взаимодействия предложения и спроса.

В описанном случае модель имеет вид:

,

(56)

Если бы обе величины х и р оказались равными нулю, то величина у равнялась бы .

Величина есть «чистый эффект дохода», ‑ «чистый эффект цены», ‑ комбинированный эффект дохода и цены.

На основании данных для США за 1959-1983 гг. по затратам на питание, располагаемому личному доходу и ценам получено уравнение регрессии [3]:

,

(57)

где у и х измерены в долларах США в постоянных ценах 1972 г., а р является индексом относительной цены, вычисленным путем деления дефлятора цен продуктов питания на дефлятор общих расходов (равный 100 в 1972 г.) и умноженным на 100.

Полученное уравнение следует интерпретировать следующим образом. При каждом увеличении располагаемого личного дохода на 1 млрд. долл. (при сохранении постоянных цен) расходы на питание увеличатся на 112 млн. долл. На каждую единицу увеличения индекса цен (при сохранении постоянных доходов) эти расходы уменьшатся на 739 млн. долл. Чистый эффект в любой момент времени будет зависеть не только от этих коэффициентов, но также от размеров измененийх пр.

Например, в период 1975‑1980 гг. располагаемый личный доход увеличился на 145,8 млрд. долл., и, согласно уравнению, это привело к увеличению расходов на питание на 16,3 млрд. долл. В течение указанного периода индекс цен упал со 111,9 до 109,7, т. е. на 2,2 пункта, и это привело к дальнейшему увеличению у на 1,6 млрд. долл. Совместный эффект, прогнозируемый уравнением (5.3), таким образом, составил увеличение затрат на питание в размере 17,9 млрд. долл.