Система нормальных уравнений для расчета параметров полулогарифмической функции

Для описания “кривой Энгеля”, т.е. монотонно возрастающей функции с заданным пределом насыщения, может использоваться не только гипербола. Экономисты Уоркинг (1943г.) и Лизер (1964г.) использовали для описания “кривой Энгеля” полулогарифмическую функцию y= a₀+a₁ln x.

Такая функция также легко приводится к линейному виду путем замены величины ln x на новую переменную z и последующей обратной замены переменных. Таким образом, чтобы рассчитать параметры такого уравнения регрессии, строится система:

na₀+a₁∑ln x =∑y

a₀∑ln x +a₁∑(ln x)² =∑y ln x (6.4)

Линеаризация второго класса функций (нелинейных по оцениваемым параметрам).

Второй класс функций приводится к линейному виду путём специальных процедур линеаризации. Наиболее часто используют логарифмирование.

Однако эта процедура применима не ко всем функциям.

Существуют нелинейные уравнения, которые не могут быть приведены к линейному виду путем логарифмирования.

Поэтому в эконометрике принято делить уравнения регрессии, нелинейные по их параметрам, на два типа:

1) Нелинейные, но внутренне линейные, уравнения;

2) Нелинейные, внутренне нелинейные, уравнения.

Внутренне линейные уравнения достаточно легко приводятся к линейному виду путём логарифмирования и дополнительной замены переменных.

Внутренне не линейные уравнения принципиально не могут быть приведены к линейному виду. К таким уравнениям относятся, например:

y = a (1 – 1/ (1 – x)^b

или

y = a + bx^c

Рассмотрим способы линеаризации и расчета параметров для внутренне линейных моделей.

Система нормальных уравнений для уравнения степенной функции

Например, рассмотрим уравнение степенной функции:

y=a₀ x^a1

Логарифмируя данное уравнение, получаем:

ln y = ln a₀ + a₁ ln x

Вводим новые переменные:

y₁=ln y

x₁= ln x

Заменяя переменные, получаем следующее уравнение:

y₁ = ln a₀ + a₁ x₁

Для такого уравнения легко составить систему нормальных уравнений:

nlna₀+a₁∑ x₁=∑ y₁

lna₀∑ x₁+a₁∑(x₁)² =∑x₁ y₁

Повторно заменяя переменные, получаем систему:

nlna₀+a₁∑ln x =∑lny

lna₀∑ln x +a₁∑(lnx)² =∑ lnx×lny (6.5)Решив систему (6.5), мы найдем параметры уравнения степенной функции. Следует обратить внимание на то, что в системе (6.5) неизвестными являются lna₀ и a₁,но a₀ легко найти путем процедуры потенцирования: a₀ = e^{ln a0} , т.е. возводим число «e» в степень lna₀.