В предыдущих параграфах мы ввели понятия: вектора , характеризующего скорость изменения скалярного поля; производную по направлению , характеризующую скорость изменения величины в направлении l; скаляра , вектора , характеризующих плотность источников и вращательную способность векторного поля. Были указаны формулы для вычисления этих величин в декартовых координатах.
Пусть - скалярное поле, - векторное поле.
1)
Где - единичный вектор в направлении .
2) - скаляр.
3) - вихрь вектора , являющийся вектором.
Известным английским математиком Гамильтоном было замечено, что все эти (и многие другие) операции можно записать кратко при помощи следующего символического вектора – оператора (читается «набла», оператор Гамильтона).
Проекции символического вектора оператора Гамильтона – суть.
.
Сам вектор не имеет реального смысла, но результат его применения, как оператора к скалярным или векторным функциям (величинам) дает вполне реальную физическую величину.
Тогда символически (обращаясь с как с вектором в прямоугольной декартовой системе координат и понимая запись ) операции 1), 2), 3) которые называют операциями I-го порядка можно записать в виде:
|
|
1)
Таким образом, под символическим произведением вектора на скаляр понимается вектор с координатами:
2)
3) Найдем векторное произведение символического вектора:
на вектор - есть вектор.
=
= - это вектор, который называют вихрем поля . от английского слова - вращение.
Производную по направлению можно записать в виде:
и вообще .
Таким образом, операции первого порядка могут быть единообразно записаны с помощью символического вектора набла.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Векторные операции I-го порядка линейны относительно своих аргументов.
Доказательство:
Следует из линейности дифференцирования и скалярного и векторных произведений.
НАПРИМЕР.
и
Заметим также, что соотношения, содержащие не зависят от выбора системы координат (это доказано для ).
Многие формулы векторного анализа легко выводятся при использовании символического вектора . Нужно понимать, что на функции и векторы, стоящее справа от , этот оператор действует как дифференциальный, а функции и векторы, стоящие слева от , перемножаются с как с обычным вектором по правилам векторной алгебры. В результате такого умножения получается новый дифференциальный оператор.
Применяя, оператор к произведениям векторов и скаляров, будем пользоваться следующим правилом:
1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то в первую очередь учитывается его дифференциальный характер, а затем уже векторное свойство.
|
|
2. Чтобы отметить тот факт, что не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом или «стрелкой» (например ), который в окончательном результате может быть снят.
3. Все величины, на которые оператор не воздействует, в окончательном результате ставятся впереди , т.е. слева от него.
Так, например, в оператор есть оператор дифференцирования
функции одной переменной и тогда правило нахождения производной произведения сводится:
ЗАМЕЧАНИЕ.
Под дифференциальными операциями II-го порядка понимаются операции, в которых символ встречается дважды. При этом формулы векторной алгебры считаются справедливыми при замене обычного вектора символическим вектором .
Усвоим некоторые элементы техники обращения с оператором .
Вы можете проверить получающиеся формулы в координатах.
1) Пусть , тогда
2)
3)
=
4)
=
Наряду с обозначениями векторного произведения будем использовать и .
Нами будет использовано и двойное векторное произведение, известное вам из аналитической геометрии (1 семестр):
5)
= .
6)
= .
7) .
Вектор поэтому скалярное произведение равно 0, т.е. . Т.е. поле вихря вектора не имеет источников и стоков.
8) .
Т.к. векторы и параллельны, т.е. поле вектора безвихревое.
9) .
10) Наряду с используют оператор Лапласа или Лапласиан.
Df. Оператором Лапласа или Лапласианом называется закон образования дивергенции от вектора :
физический смысл. Численное значение Лапласиана определяет плотность источников (если ) или стоков (если ) векторного поля .
Справедлива формула:
, где символ , так что .
Df. Скалярное поле , удовлетворяющее условию , называется лапласовым или гармоническим полем.
Дифференциальные операции II-го порядка можно для наглядности записать в виде таблицы:
Скалярное поле | Векторное поле | ||
---------------------------- | ---------------------------------- | ||
----------------- | |||
----------------- |
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН ПОЛЯ
Наименование величины и обозначение | Определение или запись с помощью операторов Гамильтона и Лапласа | Формула записи в декартовых координатах |
-1- | -2- | -3- |
Градиент скалярного поля | ||
Расходимость векторного поля ; | ||
Поток векторного поля П | ; в частности через замкнутую поверхность S: (Теорема Остроградского) | |
Ротор векторного поля ; | + | |
-1- | -2- | -3- |
Работа (линейный интеграл) векторного поля вдоль контура ; W | где | . + |
Циркуляция векторного поля вдоль контура l. Ц | . | + + . |
+ + . |