Пусть векторное поле непрерывно в G; /
Df.1 Выражение (1) называется полным дифференциалом в G, если , что:
(2)
т.к. , то (1) – полный дифференциал если и
(3)
Напомним, что для :
(4)
тогда очевидна следующая Лемма:
(1) – полный дифференциал и .
Доказательство следует из (3) и (4).
Имеют место следующие утверждения:
1) полный дифференциал в G.
2) , что .
3) не зависит от формы пути, - кусочно-гладкая.
4) - замкнутого кусочно-гладкого, :
Df.2 G - область. Обозначим D – область в G, - граница области (замкнутый простой контур в или поверхность в ). Тогда G – односвязная .
Односвязное
G D
G
Неодносвязное
Th.1 Пусть векторное поле определено в односвязной области G, , тогда условия (1), (2), (3) и (4) равносильны.
Доказательство:
Для доказательства введем два вспомогательных утверждения:
(3’) - ломанной, не зависит от формы пути.
(4’) - замкнутой простой ломанной, .
Доказательство проведем по следующей схеме:
(1)
(3’) (4’)
Отсюда будет следовать, что все условия эквивалентны.
Отметим, что (1) (2) доказано Леммой. Далее ограничимся рассмотрением плоского случая, т.е. .
|
|
а) (1) (3)
Дано: - полный дифференциал, т.е. , что .
●
●
Пусть - гладкая кривая. .
= =
= .
Пусть теперь - кусочно-гладкая:
+ .
Таким образом, также дается формула вычисления , если подынтегральное выражение полный дифференциал.
б) (3) (4)
Пусть не зависят от формы пути. Рассмотрим любой контур Г – замкнутый кусочно-гладкий, .
●
● ●
●
По свойству кратного интеграла II-го рода не зависит от начальной точки. , тогда: .
в) (4) (4’)
Это очевидно, т.к. замкнутая ломанная – частный случай кусочно-гладкой кривой.
г) (4’) (3’)
Ограничимся случаем непересекающихся ломанных.
Дано: - замкнутой ломанной .
Доказать: - ломанной, соединяющей A и B не зависит от формы пути.
Пусть - две произвольные ломанные, тогда:
разобьем: .
Можно доказать, что все останется в силе, если ломанные пересекаются.
д) (3’) (1)
Дано: - ломанной, не зависит от формы пути.
Доказать: что
Доказательство существования проведем построением.
● ●
0 x
, т.к. G открыто, то , что
. Возьмем . Определим
= . Это можно сделать, т.к. интеграл не зависит от формы пути и при фиксированной точке А зависит только от конечной точки В(x,y).
Найдем:
= .
Т.к. Р(x,y) непрерывная в G следовательно по теореме о среднем:
, причем при ,
.
Аналогично показывается, что полный дифференциал.
СЛЕДСТВИЕ.
Доказательство теоремы позволяет установить метод отыскания U(x,y,z).
Пусть .
●
●
● ●
+
.
Df.3 Векторное поле , определенное в G, называется потенциальным, если оно удовлетворяет любому из равносильных условий (1), (2), (3) и (4); U называют потенциалом (потенциальной функцией) поля .
|
|
Очевидно, что U(M) определяется с точностью до константы.
Th.2 Пусть , G – односвязная область. Тогда потенциально в G .
Доказательство:
Необходимость.
Пусть потенциально в G. - замкнутая кусочно-гладкая граница: .
- произвольный нормальный вектор из точки к плоскости, содержащей кривую Г.
●
По инвариантному определению :
Т.к. произвольного направления, то пусть
.
Достаточность.
Пусть . - замкнутой - поверхность, что (по теореме Стокса) - потенциально.
Df.4 Пусть векторное поле называется бизвихревым в G если .
Тогда теорему 2 можно переформулировать (перефразировать) следующим образом:
- потенциальное безвихревое.
Таким образом, отсутствие вихрей является и необходимым и достаточным условием потенциальности поля.
Следует отметить, что необходимым и достаточным условием потенциальности поля является также равенство нулю циркуляции поля по любому замкнутому контуру.
Следует иметь ввиду, что приведенные выше рассуждения справедливы только в случае, когда поле определено во всех внутренних точках контура Г. Если же хотя бы в одной внутренней точке некоторого замкнутого контура поле не определено, то циркуляция по этому контуру может и не обращаться в нуль, хотя поле и потенциально.
Рассмотрим еще одно векторное поле – так называемое соленоидальное, или трубчатое поле.
Df.5 Поле вектора называется соленоидальным или трубчатым, если в каждой точке поля .
Или имея в виду физический смысл , можно сказать, что соленоидальное поле – это такое поле, в котором нет источников и стоков.
Примером соленоидального поля является поле вихря вектора .
Основное свойство соленоидального поля состоит в том, что в нем векторные линии не могут нигде ни начинаться, ни кончаться, они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми.
ПРИМЕР.
Проверить на потенциальность поле: . Найти потенциал и вычислить , где и .
Решение:
Очевидно, - имеют производные любого порядка в , т.е. .
а) Проверка потенциальности:
= поле потенциально.
б) Определяем потенциал:
1 способ.
z
●
● ●
= , где .
2 способ.
;
;
;
Итак:
.
в) .