2015-04-17
4011
Рассмотрим передаточную функцию в стандартном виде
(23.3)
где 
Перейдем к соответствующей частотной передаточной функции, используя формальную замену p на jω:
Найдем модуль данной функции
(23.5)
и фазовую частотную функцию
(23.6)
Запишем выражение для логарифмической амплитудной характеристики
L(ω) = 20lgk – 20 lgω - 20 lg 
+20 lg 
-20 lg 
+ + 20 lg 
+… (23.7)
Графики L(ω) и 
строятся в логарифмическом масштабе.
Вспомним, например, что диапазон частот, на который реагируют наши органы слуха, составляет 5гц – 20 кц.
При построении частотных графиков возникает проблема необходимости с одинаковой наглядностью и детализацией получать графики на разных диапазонах частот. Обычно диапазон рабочих частот элемента или системы разбивают на поддиапазоны: поддиапазоны низких,средних и высоких частот.
Если вы представите себе эквалайзер (устройство регулировки тембра звуковых частот), то в нем как раз и реализован логарифмический диапазон частот.
Очевидно, что подбирая масштаб графиков для низких частот, например, один сантиметр по оси абсцисс соответствовал бы диапазону в 10гц, где оказался бы график при частотах в 10- 20 кгц? И наоборот: что увидели мы на низких частотах, если бы в одном сантиметре помещалось бы 5 кгц? Что представляет собой логарифмический масштаб?
При использовании логарифмического масштаба получаем
(табл. 23. 1). Таблица 23.1
| ω | 0.1 | ||||||
| lgω | -1 |
Логарифмический масштаб частот – линеен. На графиках по оси абсцисс показываются не логарифмы частот, а сами частоты, соответствующие их логарифмам как показано на рис.23.5.
При различии двух частот в 10 раз говорят, что они разнятся на декаду, а при различии в два раза – на октаву.
Величины L(ω) берутся в децибелах, что также берет начало в акустике.
Величина один бел – относительная величина, как кратность («трёхкратное отличие») или проценты, предназначенная для измерения отношения двух величин, рассматривается как логарифм отношения двух мощностей акустического сигнала, одна из которых в десять раз больше другой: 1Б = lg(P2 /P1), где P2=10 P1
L(ω),дб
| -20 |
| -40 |
0.1 1 10 100 ω,1/с
Рис. 23.5. Оси для построения логарифмических частотных характеристик
Бел не входит в систему единиц СИ. Для одноименных энергетических величин, например, мощности и энергии или „силовых“— напряжения и силы тока бел определяется как «логарифмическая величина (десятичный логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную). Так, например, для силы тока имеем 1Б = lg(
/ 
) = 2 lg(
/ 
). На практике используют дольные единицы бела – децибелы: 1б = 10дб. В этом случае имеем выражение 20 lg( / ) в децибелах. В теории автоматического регулирования децибелы используются для оценки преобразования входных сигналов в выходные по величине.
Из выражения (23.7) следует, что L(ω) состоит из слагаемых. Рассмотрим каждое из них
L1 (ω) = 20lgk.
График этого слагаемого – прямая, параллельная оси ω.
L2 (ω) = – 20 lgω.
Что представляет собой график, в логарифмической системе координат?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим две точки этого графика при ω1 и ω2 = 10 ω1, т.е. при частотах, отличающихся на декаду, и найдем разницу значений ΔL (ω) = L(ω2)- L(ω1):
ΔL (ω) = – 20 lgω2 – (– 20 lgω1) = – 20 lg10ω1 + 20 lgω1 = 20 lgω1/10ω1 = = 20lg 0.1 = - 20 дб
Можно заключить, что при разности частот на декаду значения выражения отличаются на 20дб.
Поскольку частоты заранее не оговаривались, это значит, что при любых значениях ω1 и ω2, разнящихся на декаду, разница значений L(ω) будет одна и та же. Нетрудно догадаться, что это справедливо для прямой, наклон которой – 20 дб/декада (минус 20 децибел на декаду).
Иметь дело с прямой гораздо проще при построении графиков. Этот полезный результат был получен за счет использовании логарифмического масштаба для оси частот.
Для построения прямой достаточно знать или две точки или точку и наклон прямой.
Зная наклон прямой, найдем одну точку, в качестве которой возьмем точку пересечения прямой с осью абсцисс. Тогда будем иметь
– 20 lgω =0 и ω=1.
Так как значение частоты ω=1 не всегда попадает в рабочий диапазон частот системы, рассмотрим совместно два первых слагаемых выражения (23.7):
L(ω) = 20lgk – 20 lgω = 0
В этом случае ω = k.
Рассмотрим далее слагаемое
L(ω) = - 20 lg , представив его для общего случая в виде
L(ω) = - 20 lg 
(23.8)
Определим к чему стремится график данной функции при малых и больших частотах.
Возьмем ω ˂˂ 1/T. Будем иметь L(ω) = - 20 lg 1 = 0. Это прямая, проходящая по оси абсцисс.
При ω ˃˃ 1/T имеем L(ω) = - 20 lg Tω, т.е. вновь получили уравнение прямой с наклоном 20дб/декада, пересекающей ось нуля децибел при ω = 1/ T
Две данные прямые представляют собой асимптоты, начинающиеся от точки ω = 1/ T, как показано на рис.23.6.
Истинная характеристика, показанная на рис.23.6, отличается от асимптотической характеристики, т.е. составленной из асимптот, в худшем случае на 3дб, что с практической точки зрения немного. При необходимости учесть разницу и сэкономить время на построение ряда логарифмических характеристик, можно поступить следующим образом: вырезать шаблон (рис.), представляющий собой разницу асимптотических и истинной характеристик, строить при необходимости сначала асимптотическую характеристику и, пользуясь шаблоном – истинную.
асимптоты
| Истинная ЛАЧХ |
| 3 дб |
| шаблон |
ω, 1/с
Рис. 23.6. Построение асимптотической ЛАЧХ.
Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ), как следует из выражения (23.6), имеет одинаковые составляющие 
При 
= 450
При ω 0 = 00, при ω 
= 900 .
ϕ(ω) шаблон 1/T
| -450 |
Рис. 23.7. Особенности графика .
На рис.23.7 показан график для 
и заштрихованный шаблон.
Для уменьшения времени построения ϕ(ω) и следовательно повышения производительности труда проектировщика систем необходимо сделать шаблон, показанный на рис. и всякий раз совмещая 450 с ω = 1/T, учитывая знак, чертить кривую арктангенса.
Рассмотрим пример построения логарифмических характеристик для частотной передаточной функции
(23.9)
Найдем ее модуль
(23.10)
и логарифмическую амплитудную частотную характеристику
L(ω) = 20lgk – 20 lgω - 20 lg +20 lg , (23.11)
а также логарифмическую фазовую частотную характеристику
(23.12)
На рис. показаны графики слагаемых L(ω) и 
обозначенные номерами, в порядке записи в соответствующих выражениях и графики L(ω) и выделенные жирной линией для L(ω) и маркерами для 
| L(ω) 9( |
| 9( |
| 1+2 9( |
| ω=k 9( |
| φ(ω) 9( |
| 450 9( |
| -1800 9( |
| -1350 9( |
| -900 9( |
| -450 9( |
| 00 9( |
| -40 9( |
| -20 9( |
| 9( |
| 9( |
| 9( |
| 9( |
| 9( |
| 9( |
| 9( |
| 9( |
| 9( |
| φ(ω) 9( |
| 20дб/дек |
| 20дб/дек |
| -20дб/дек |
| -40дб/дек |
ω, 1/c
Рис. 23.8. Построение логарифмических частотных характеристик
Рассмотрев методы анализа свойств элементов и систем, следует подчеркнуть, что многое из рассмотренного и выводы были сделаны не на основе рассуждений, а на основе математических выводов.
По мнению физиолога Ивана Петровича Павлова «в любой науке настолько много науки, насколько много в ней математики».
В этом смысле теория автоматического управления – одна из подлинных наук.
Заключительной стадией данной теории является синтез систем.
На сегодня существуют разные методики синтеза систем. Остановимся только на двух из них. Одна – американская – корневые методы, и вторая русская – логарифмические частотные хакрактеристики.
Первая предполагает наличие компьютеров, вторая – дает возможность рассуждать на природе, рисуя графики.
Поскольку я люблю природу, мне ближе вторая. Она позволяет одновременно обозревать и свойства отдельных элементов и влияние их на свойства систем.
При использовании годографов Михайлова это не удается из-за отсутствии наглядности. При использовании корневых методов нужны дополнительные сведения о связи корней характеристического уравнения системы и временных характеристиках.
