Формальная постановка задачи

Чтобы привести формальную постановку МЗН, введем следующие понятия, термины и обозначения. Имеются два исходных множества по n элементов: С{n} и O{n}. Обозначим: C{C₁, C₂,..., C_i,..., C_n} — первое множество, элементы которого назовем субъектами; О{О₁, О2,..., O_j,..., О_n} - второе множество, элементы которого назовем объектами.

Имеется множество из N критериев оценки субъектов и объектов. Каждая оценка на шкале критерия имеет две формулировки, отражая взаимные требования и возможности элементов двух множеств (см. пример далее). Шкалы критериев - порядковые, с небольшим, как правило, числом оценок, упорядоченных от лучшей к худшей. Лучшая оценка имеет ранг, равный единице. Оценки могут быть как словесные, так и численные. (Заметим, что шкалы словесных оценок наиболее характерны для МЗН. Иллюстрацией могут служить приведенные выше примеры.)

Часть критериев отражает требования субъектов и возможности объектов, другая часть — требования объектов и возможности субъектов. Введем следующие обозначения: S_k(S₁, S₂,..., S_m,..., S_w} — множество оценок на шкале k-ro критерия; Sk_m — m-я по порядку оценка на шкале k-ro критерия; Tik_p — р-я по порядку оценка на шкале требований i-го элемента по k-му критерию; Vju_t — t-я оценка на шкале возможностей j-ro элемента по u-му критерию.

Назовем критериальным соответствием (КС) различие по одному из критериев между требованиями субъекта (объекта) и возможностями объекта (субъекта). Требования i-го элемента по k-му критерию (Tik_p) удовлетворены возможностями j-ro элемента по k-му критерию (Vjk_t), если р > t. При этом критериальное соответствие идеально.

Назовем назначением любую пару {C_i, O_j}, образованную двумя элементами, принадлежащими разным исходным множествам. Имеется множество из (n´n) назначений {C_i, O_j}, i, j = 1,2,..., n, для двух исходных множеств по n элементов: С{n} и o{n}.

Идеальным назначением назовем пару {C_i, O_j}, для которой взаимные требования полностью удовлетворены по всем критериям, т.е. все КС идеальны.

Назовем решением многокритериальной задачи о назначениях единичную диагональную матрицу MS(n´n), диагональные элементы которой соответствуют назначениям, формирующим решение. Заметим, что количество возможных решений для размерности исходных множеств С{n} и O{n} равно n!, что и вызывает (в общем случае) существенные трудности при решении МЗН большой размерности.

Идеальным решением назовем решение МЗН, все назначения которого идеальны.

Предположим, что назначения могут быть проранжирова-ны, т. е. каждому возможному назначению может быть присвоен ранг, отражающий его качество, с точки зрения ЛПР. Тогда любое решение МЗН может быть охарактеризовано совокупностью рангов отдельных назначений, сформировавших решение. Теперь можно записать МЗН в следующем виде.

Дано: два множества: C_i (I = 1,2,..., n) и O_j (j = l,2,..., n); оценка каждого элемента двух множеств по N критериям (k₁, k₂,..., k_N).

Требуется: на основе предпочтения ЛПР определить и выбрать из множества эффективных решений такое, для которого сумма рангов лучших S назначений (S £ n) минимальна.

В исследовании операций известна задача о назначениях с одним критерием качества решения [4]. В однокритериальной задаче о назначениях задана стоимость образования той или иной пары, например исполнения каждой из работ каждым из исполнителей. Задан также критерий — минимум стоимости выполнения всей совокупности работ. Для решения однокритериальной задачи применяются различные методы, как правило, основанные на алгоритмах дискретного программирования. Далее мы будем использовать однокритериальную задачу о назначениях как вспомогательное средство при решении существенно более сложной многокритериальной задачи. МЗН занимает промежуточное положение между задачами принятия индивидуальных и коллективных решений. Действительно, ЛПР стремится найти наибольшее число максимально удовлетворенных субъектов и объектов, основываясь на характеристиках, отражающих интересы и индивидуальные предпочтения субъектов и объектов. Но в ситуациях, требующих выбора, ЛПР руководствуется своими предпочтениями.

Впервые близкая по постановке задача была сформулирована в [5]. В ней используется тот же критерий оптимальности и дан алгоритм решения задач малой размерности. Его применение позволило решить практическую задачу [2].

Пример

Рассмотрим задачу назначения трех сотрудников организации на три вакантные должности. С одной стороны, претендент на каждую должность обязан соответствовать определенным требованиям. С другой стороны, руководитель стремится предоставить каждому сотруднику должность, соответствующую его возможностям.

Предположим, что эксперты совместно с ЛПР, ответственным за назначения, разработали следующие критерии для оценки соответствия субъектов (назначаемых) и объектов (должностей).

Профессиональная подготовленность:

1) высокая;

2) удовлетворительная.

Умение руководить коллективом:

1) хорошее;

2) удовлетворительное. Практический опыт:

1) большой;

2) небольшой;

3) отсутствует.

Приведем для примера формулировку оценок на «зеркальных» шкалах критерия «Профессиональная подготовленность». Шкала требований

1. Требуются работники с высокой профессиональной подготовкой.

2. Достаточна удовлетворительная профессиональная подготовка.

Шкала возможностей

1. Претендент обладает высокой профессиональной подготовкой.

2. Профессиональная подготовка претендента удовлетворительна.

Предположим, что эксперты охарактеризовали возможности субъектов следующими оценками по выбранным критериям: C₁ = (2; 1; 2); С₂ = (2; 2; 2); С₃ = (2; 2; 3). (Цифры в скобках обозначают номера вербальных оценок на приведенных выше шкалах критериев.) Например, второй субъект (С₂) имеет удовлетворительную профессиональную подготовку, удовлетворительное умение руководить коллективом и небольшой практический опыт.

Характеристики объектов: O₁ = (l; 1; 2); O₂ = (2; 1; 2); Оз = (2; 2; 2). Эти характеристики выражают должностные требования. Так, для занятия должности О₂ требуется субъект, для которого достаточно иметь удовлетворительную профессиональную подготовку, необходимо хорошее умение руководить коллективом и достаточен небольшой практический опыт. Возникает вопрос: как найти наилучшее решение МЗН в данных условиях?