Химические реакторы с неидеальной структурой потоков

Лекция 11

При составлении математических моделей реакторов идеаль­ного смешения и идеального вытеснения был сделан ряд допуще­ний, облегчающих как построение моделей, так и расчеты на их основе. Однако эти допущении не всегда близки к реальным условиям. Рассмотрим сначала основные причины отклонений от иде­альности, а затем способы построения математических моделей реальных реакторов.

Причины отклонений от идеальности в проточных реакторах

Работу проточного реактора действующего непрерывно можно охарактеризовать так: в аппарат поступает реакционный поток и каким-то способом перемещается от входного отверстия до выходного. Предполагается, что все элементы реакционного пото­ка находятся в реакторе некоторое время, в течение которого мо­жет протекать химическая реакция. В общем случае время пребы­вания отдельных элементов потока в проточном аппарате – это непрерывная случайная величина, значение которой может ме­няться от 0 до ∞.

Может оказаться, что какой-то элемент потока в реакции фак­тически не участвует, так как в реакторе он попадает в так называ­емую застойную зону (рис. 11.1). Здесь реакционная смесь задержи­вается, и скорость химической реакции, если не равна нулю, существенно отличается от скорости реакции в основном потоке.

Рис. 11.1. Схемы образования застойных зон в проточных реакторах

Другой причиной, по которой часть реакциотшого потока мо­жет не принимать участия в реакции, является наличие внутрен­них байпасо в (рис. 11.2). Особенно часто байпасы возникают при недостаточно продуманном конструктивном решении аппара­та, где реакционным пространством является поверхность зернис­того катализатора.

Рис. 11.2. Схемы образования внутренних байпасных линий

Наилучшие результаты могли бы быть получены, если бы все элементы реакционного потока находились в зоне реакции строго одинаковое время. Это возможно в аппаратах идеального вытесне­ния, характеризующихся плоским профилем линейных скоростей потока. Однако в реальных реакторах, даже близких к идеальному вытеснению, все-таки существует какое-то распределение элемен­тов потока по времени пребывания в аппарате, возможно, вслед­ствие частичного перемешивания в осевом направлении. Такое перемешивание может возникнуть, например, в результате моле­кулярной диффузии: концентрации участников реакции в двух со­седних точках по длине реактора вытеснения будут разными, а раз­ность концентраций ΔС является движущей силой диффузии. Наличие продольной диффузии приведет к нарушению поршне­вого режима течения потока – произойдет размывание «поршня», если рассматривать некоторый элемент потока как поршень.

Наряду с молекулярной диффузией в реакторе вытеснения про­исходит и турбулентная диффуузия. Турбулентный поток отличает­ся наличием направленных во все стороны хаотичных пульсаций скорости относительно ее среднего значения. Пульсации в ради­альном направлении приводят к выравниванию условий (концен­траций, температуры) по поперечному сечению и, следовательно, необходимы для выполнения допущений модели идеального вытеснения. Пульсации в продольном направлении, наоборот, при­водят к тому, что одни элементы потока обгоняют основную мас­су, другие отстают от нее, т.е. происходит осевое перемешивание или продольная диффузия.

Диффузия в осевом направлении происходит не только при турбулентном течении потока. Продольное перемешивание мо­жет быть следствием неравномерности поля скоростей, например, при ламинарном течении жидкости. В этом случае элементы по­тока, движушиеся в центре канала, имеют линейную скорость, превышающую скорость остальных элементов потока (u_ср = u_max/2).

Рис. 11.3. Схема размывания «поршневого» потока при ламинарном течении (тейло­ровская диффузия):

1 – первоначальное положение частиц в про­извольном сечении в момент времени τ₁;

2, 3 - в моменты времени соответственно τ₂ и τ₃

Рис. 11.4. Зоны циркуляции в реакторе вытеснения

Если в момент времени τ₁, пометить частицы, находящиеся в ка­ком-то сечении, то в более поздние моменты τ₂, τ₃ и т.д., помечен­ные частицы окажутся на поверхности параболоида. Те из них, которые движутся по оси трубы, уйдут дальше всех. Те же, кото­рые попали на самую периферию потока, не сдвинутся, их ско­рость равна нулю (рис. 11.3). И хотя характер движения элементов потока в этом случае отнюдь не хаотический (в любой момент времени можую предсказать положение выбранной частицы потока), результат будет тот же, что и в случае молекулярной диффузии, размывание «поршня». Такой вид диффузии, вызванной неравномерностью поля скоростей, называется тейлоровской диффузией.

В проточном реакторе вытеснения наряду с застойными зона­ми могут иметь место и зоны циркуляции, в которых реак­ционная смесь задерживается намного дольше, чем в ядре потока (рис. 11.4). Основная масса потока проходит через аппарат быстрее среднего времени пребывания = V/v = F∙L/v, так как идет не по полному сечению аппарата.

Все перечисленные выше причины могут приводить к откло­нениям от идеальной структуры потока, и тогда расчет реактора, выполненный на основе математической модели, построенной с уче­том допущений об идеальности, окажется неверным.

В теории реакторов разработаны модели, позволяющие учесть неидеальность потока. Модели эти также основываются на неко­торых допущениях и поэтому являются, в определенной степени, приближенными (как и любая модель вообще), однако они значи­тельно более точно описывают реальный процесс, чем модели иде­ального смешения и идеального вытеснения.

Рассмотрим сначала некоторые модели, позволяющие описать процесс в реакторе с неидеальной гидродинамической обстановкой, а затем кратко проанализируем методы исследования структуры потоков в химических реакторах, позволяющие сделать вывод о при­менимости той или иной модели.

Модели реакторов с неидеальной структурой потоков

Математическая модель реактора с неидеальной структурой потоков должна удовлетворять ряду требований. Во-первых, она должна точнее, чем модели реакторов с идеальной структурой потока, передавать закономерности протекающего химического процесса, в частности, при моделировании проточных реакторов расчет на основе такой модели должен позволить получить рас­пределение концентраций по объему, приближающееся к реаль­ному. Во-вторых, модель при большей сложности (по сравнению с моделями идеальных реакторов) должна быть такой, чтобы при ее использовании можно было аналитическим или численными методами получить расчетные зависимости, необходимые для определения размеров реактора или решения подобных задач.

Из проведенного сравнения проточных реакторов идеального смешения и идеального вытеснения следует, что эти типы реакторов описывают два предельных случая распределения концентраций реагентов по объему аппарата. Поэто­му к модели реактора с неидеальной структурой потока можно предъявить еще одно дополнительное требование: при некоторых предельных значениях коэффициентов, входящих в уравнение модели, она должна описывать, либо проточный реактор идеаль­ного смещения, либо реактор идеального вытеснения.

При разработке тех или иных моделей следует иметь в виду, что, как правило, теория дает общий вид уравнений математиче­ского описания, а числовые коэффициенты этих уравнений, зна­чения которых отличают один частный случай от другого, должны быть найдены экспериментально. Эти коэффициенты называют параметрами математической модели. Обычно стремятся к тому, чтобы число таких параметров было минимальным. Большое чис­ло параметров, с одной стороны, вроде бы делает модель более точной (физически), но, однако, при этом возникает опасность появле­ния значительных ошибок, так как чем больше параметров, тем более точные эксперименты и в большем количестве необходимо поставить, чтобы достаточно верно оценить их.

Математические модели неидеальных реакторов могут быть построены на основе двух подходов. Первый основан на мыс­ленной замене реального реактора той или иной комбинацией идеальных аппаратов. Второй подход имеет большее физическое обоснование – при составлении математического описания про­цесса стремятся учесть реальные физические явления, приводящие к отклонениям от идеальности, и внести их в уравнения мо­дели с помощью соответствующих математических операторов.

Очевидно, что при первом подходе математическая модель бу­дет представлять собой систему уравнений, объединяющих математические описания нескольких идеальных реакторов. Число уравнений можег быть велико, но по структуре они останутся та­кими же простыми, как и уравнения идеальных моделей. При вто­ром подходе число уравнений может быть меньше, но уравнения более сложные, а следовательно, сложнее и методы их решения.

Наиболее распространенными являются две однопараметрические модели: ячеечная и диффузионная.

Ячеечная модель.

В ячеечной модели использован первый под­ход к описанию реальных реакторов, а именно: реальный аппарат мысленно расчленяют на N последовательно соединенных ячеек идеального смешения (рис. 11.5). Суммарный объем всех ячеек ра­вен полному объему реактора.

Рис. 11.5. Ячеечная модель

Правомерность такой замены вытекает из сравнения каскада реакторов идеального смешения с единичными реакторами иде­ального смешения и идеального вытеснения.

Ячеечная модель по существу совпадает с моделью каскада ре­акторов идеального смешения и представляет собой, как известно, систему из N уравнений материального баланса по компоненту J (при описании простой реакции), каждое из которых имеет вид

(11.1)

При N = 1 уравнение (11.1) описывает, единичный реактор идеального смешения

При N → ∞ и бесконечно малых объемах секций V _i → 0 суммарное время пребывания в каскаде из N реакторов можно рассматривать как некоторый предел суммы

где Δ С_{J , i} = C_{J , i} – C_{J , i-1} .

Предел этой суммы при V _i → 0 и N → ∞ является определенным интегралом:

(11.2)

При этом уравнение (11.2)вырождается в уравнение описывающее модель идеального реактора идеального вытеснения, а сама ячеечная модель (модель каскада реакторов идеального смешения) вырождается в модель проточного реактора идеального вытеснения.

Рис. 11.6. Аппроксимация реального распределения (1) концентрации реагента по длине проточного ре­актора с использованием ячеечной модели(2)при N = 6 и по длине ре­акторов идеального вытеснения (3) и идеального смешения (4)

Таким образом, используя модель каскада реакторов идеаль­ного смешения, можно описать предельные гидродинамические режимы. Разумно предположить, что и промежуточный режим (а в любом peальном реакторе гидродинамическая обстановка от­вечает именно промежуточному режиму) можно описать, исполь­зуя модель каскада реакторов идеального смешения, состоящего из N ячеек, причем, с одной стороны, N ≠ 1, а с другой – N явля­ется конечным числом. Как правило, применение ячеечной моде­ли при N ≥ 10 позволяет удовлетворительно описагь реальный реактор (рис. 11.6). Линии 3, 4 построены для сравнения с проточ­ными реакторами с идеальной структурой потока.

Число ячеек N, заменяющих реальный реактор, и является единственным параметром ячеечной модели. При известном N расчет реактора на основе ячеечной модели по сути ничем не отли­чается от расчета каскада проточных реакторов идеального смешения и представляет собой последовательное решение уравнений матема­тической модели каждой ячейки (секции) идеального смешения.

Однопараметрическая диффузионная модель.

Диффузионная модель, как и ячеечная, описывает реальную гидродинамическую обстановку в проточном реакторе как некоторый промежуточный случай между режимами идеального смешения и идеального вытеснения. При построении диффузионной модели, в отличие от модели идеального смешения, учитывается неравномерность рас­пределения параметров процесса (в частности, концентрации) по объему аппарата. Но неравномерным является и распределение концентрации по длине реактора идеального вытеснения. В отли­чие от модели идеального вытеснения в диффузионной модели учитывается наличие перемешивания реакционной среды в осевом направлении, вызванное различными видами диффузии. Послед­нее условие и легло в основу названия модели – диффузионная.

В реальном реакторе неравномерное распределение концент­раций и вызванный им диффузионный перенос имеют место как в продольном (осевом), так и в радиальном направлениях. Однако учет и продольной, и радиальной диффузии чрезмерно усложнит уравнения диффузионной модели. Поэтому в первом приближе­нии считают, что и радиальном направлении распределение концентраций равномерное, и диффузия происходит только вдоль оси реактора.

Перенос вещества вследствие турбулентной или тейлоровской диффузии может быть описан уравнениями, аналогичными урав­нению для молекулярной диффузии, но со своими коэффициен­тами D _турб и D _тейл. Экспериментально разделить различные виды диффузии в реакторе невозможно. Поэтому целесообразно все их объединить одним уравнением с эффективным коэффициентом продольной диффузии D_L, который нельзя предсказать заранее теоретически из-за сложной природы этой величины.

Коэффициент продольной диффузии D_L и является единствен­ным параметром однопараметрической диффузионной модели.

В случае учета радиальной диффузии введением соответствую­щих операторов с коэффициентом радиальной диффузии D_R реак­тор будет описываться двухпараметрической диффузионной мо­делью.

Уравнение однопараметрической диффузии модели, можно получить, взяв за основу уравнение материального баланса для эле­ментарного объема проточного реактора и,

(10.1) упростить его, в со­ответствии со следующими допущениями:

- как и в модели идеального вытеснения, по сечению реактора, перпендикулярному основному потоку, все условия выравнены, т. е. концентрации и температура меняются только вдоль оси реактора;

- в аппарате отсутствуют застойные зоны и байпасные потоки.

Как и для реактора идеального вытеснени, конвек­тивный перенос вещества J будет происходить только в направле­нии оси z. От оператора диффузионного переноса D C_J также останется только составляющая вдоль оси z. Тогда, уравнение (10.1)в применении к однопараметрической диффузионной модели примет вид

(11.3)

где u_z = v/F – линейная скорость потока в направлении оси ре­актора.

Уравнение (11.3) описывает нестационарный процесс в реаль­ном реакторе с распределенными параметрами при наличии продольного пере­мешивания. Гидродинамическая обстановка в аппарате учитыва­ется в этом уравнении двумя первыми членами. Первый член уравнения u _z∙(∂ C_J /∂z) характеризует конвективный перенос вещества J с линейной скоростью u. В результате протекания химичес­кой реакции по длине аппарата устанавливается распределение концентрации данного вещества, описываемое в точке с координатой z производной ∂ C_J /∂z. Второй член уравнения D_L( ∂² C_J /∂z² ) описывает осевое перемешивание, интенсивность которого опре­деляется коэффициентом продольной диффузии D_L.

В предельных случаях уравнение (11.3) может быть использова­но для описания реактора идеального вытеснения и аппарата иде­ального смешения.

Действительно, если считать, что выполняется допущение о пол­ном отсутствии осевого перемешивания, то

и уравнение (11.3) принимает такой же вид, как уравнение для реактора идеального вытеснения:

Если же принять допущения о полном выравнивании концент­рации по объему и диcкpeтном скачкообразном изменении кон­центрации реагента на входе в проточный реактор, в уравне­нии (11.3) можно будет пренебречь диффузионным оператором D_L (∂² C_J /∂z²) (отсутствует причина для возникновения диффузи­онных потоков внутри аппарата), а производную ∂ C_J /∂z в первом члене уравнения заменить на отношение конечных разностей, как это было сделано для проточного реактора идеального смешения, то уравнение (11.3) будет совпадать с уравнением для проточного реактора идеального смешения, т.е. можно сделать вывод, что сформулированное выше требование о необходимости предельного перехода неидеальных моделей в модели идеального вытеснения или смешения выполняется и для однопараметрической диффузионной модели.

Степень приближения реальной гидродинамической обстанов­ки к одному из идеальных режимов зависит от степени взаимного влияния конвективной и диффузионной составляющих и уравне­нии материального баланса (11.3). Используя методы теории подо­бия, можно из дифференциального уравнения (11.3) получить кри­терий подобия, являющийся мерой относительной эффективности двух физических процессов: конвективного переноса в направлении оси реактора и продольного диффузионного перемешивания,

где u – линейная скорость; z – линейный размер (удобнее его обозначить через L).

Полученный критерий называют диффузионным критерием Пекле

(11.4)

При больших значениях критерия Ре интенсивность конвективного переноса существенно выше интенсивности продольного диффузи­онного перемешивания. Это имеет место в длинном канале (большие значения L) при высокой линейной скорости или низких значениях коэффициента продольной диффузии D_L. При Ре → ∞ реактор вырождается в аппарат идеального вытеснения.

При малых числовых значениях Ре (короткий канал, невысо­кие линейные скорости или большие значения D_L) относительная интенсивность продольного перемешивания превышает интенсив­ность продольного конвективного переноса. При Ре → 0 реактор вырождается в аппарат идеального смешения: бесконечно быстрая диффузия приводит к полному и мгновенному выравниванию концентраций.

Расчеты на основе диффузионной модели существенно слож­нее, чем расчеты на основе ячеечной модели. Аналитическое ре­шение уравнения диффузионной модели возможно лишь для ста­ционарного реактора при проведении в нем реакции первого порядка, скорость которой является линейной функцией концент­рации w_rA = kC_A.

Рис. 10.7. Профиль изменения концентрации реагента в проточном реакторе

Уравнение диффузионной модели (11.3) примет вид

(11.5)

Его удобно представить в безразмерном виде, введя новую пе­ременную l = z/L, где L – длина реактора. Тогда z = l∙L и dz = Ldl. С учетом соотношения L/u = V/ v = и выражения (11.4) уравне­ние (11.5) можно представить в следующем виде:

(11.6)

Для нахождения решения дифференциального уравнения вто­рого порядка (11.6)необходимо задать два граничных условия. Ана­лиз граничных условий для диффузионной модели был сделан Данквертсом, и их часто называют граничными условиями Данквертса.

Выбор граничных условий диктуется физической картиной процесса. При z = 0 (l = 0), как следствие диффузионного перемешивания, происходит дискретное уменьшение концентрации реагента А (рис. 11.7), которое можно сравнить со скачкообразным изменением концентрации на входе в проточный реактор идеального смешения. При конечном значении коэффициента D_L для сечения z = 0 + 0 (l = 0 +0), в котором еще не происходит химическая реакция, можно составить уравнение ма­териального баланса

или в безразмерных координатах

(11.7)

Это уравнение, позволяющее рассчитать С_А при z = 0, и являет­ся первым граничным условием.

При z = L (l = 1) можно было бы составить аналогичное урав­нение. Но это привело бы к тому, что при конечном значении D_L и отрицательном значении производной dC_A/d z (по мере увеличения z концентрация уменьшается из-за протекающей химиче­ской реакции) концентрация С_A,L выходном потоке была бы выше концентрации в реакторе. Это противоречило бы физическому смыслу, поэтому целесообразно в качестве второго граничного ус­ловия в соответствии с физической природой явления (рис. 11.7) принять

или

(11.8)

Для реакции первого порядка решение дифференциального уравнения (11.6) при граничных условиях (11.7) и (11.8) даст следую­щий результат:

(11.9)

В полученной формуле (11.9)

Решение уравнения диффузионной модели для реакций с дру­гими кинетическими закономерностями более сложно. Поэтому, несмотря на то, что диффузионная модель позволяет в большей степени приблизиться к реальной физической картине, во многих случаях моделирования реакторов предпочитают пользоваться яче­ечной моделью как значительно более простой для вычислений.