Лекция 1

1.Типы плоских волн. Распространение возмущений в неограниченной среде.

Уравнения движения упругой среды в перемещениях можно записать в виде.

где – соответственно плотность среды и параметры Ламе.

Вводя следующие безразмерные параметры

где – скорости распространения упругих волн.

Тогда уравнения равновесия можно записать в следующем виде

При этом штрихи в безразмерных параметрах будем опускать

Рассмотрим выписанные уравнения для случая, когда все величины зависят только от одной координаты, для определенности пусть будет . Тогда уравнения равновесия распадаются на три независимых уравнения

Как видим, каждое уравнение представляет собой уравнение колебаний струны. Решением такого уравнения при отсутствии массовых сил является суперпозиция прямой и обратной волн

Первое из описанных уравнений описывает так называемые продольные волны, а второе поперечные.

Распространение возмущений в бесконечной упругой среде. Как видно из уравнений для случая, когда все величины зависят от одной координаты, поперечные и продольные волны распространяются независимо. Поэтому для их изучения рассмотри следующую задачу.

Применим к этому уравнению поочередно преобразования Фурье и Лапласа тогда получаем

Теперь, если рассмотреть вспомогательную задачу:

Тогда легко увидеть, что

Тогда можем последовательно записать

Таким образом, для решения исходной задачи необходимо решить вспомогательную задачу.

Имеем

Тогда ()

Тогда

Тогда имеем,

И, таким образом, получаем

Задания.

Найти НДС упругой среды при