2015-04-01
1045
При кручении в поперечном сечении стержня возникает крутящий момент М К. Нагрузкой при кручении являются скручивающие моменты mi, действующие относительно продольной оси стержня. Крутящий момент определяется методом сечений и равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, действующих на рассматриваемую часть стержня: М К = ∑ mi. Момент считается положительным, если он направлен против хода часовой стрелки (при взгляде со стороны сечения).
При кручении в поперечном сечении стержня возникают касательные напряжения τ. Касательные напряжения τ распределяются по площади круглого поперечного сечения стержня неравномерно, нарастая от оси вала к поверхности по линейному закону, наибольшие напряжения возникают по контуру сечения. Закон распределения напряжений τ вдоль произвольного радиуса в сечении изображен на рис. 13. Во всех точках окружности радиуса ρ напряжение τ = const и направлено по касательной к этой окружности. Напряжения τ в сечении сводятся к крутящему моменту М К(рис.13):
|
|
|
М К = 
.
Формула для определения τ имеет вид
,
где Ip – полярный момент инерции сечения, м4; для сплошного круглого сечения 
(прил. 4);
М К – крутящий момент, Н·м.
Рис. 13. Распределение касательных напряжений
в сечении при кручении
Условие прочности имеет следующий вид:
,
где 
– геометрическая характеристика прочности при кручении, называемая полярным моментом сопротивления, м3;
[τк] – допускаемое напряжение на кручение, Па.
Для сплошного круглого сечения (рис. 14)
.
Рис.14. К определению полярного момента сопротивления Wp
длясплошного круглого сечения
Для полого толстостенного цилиндра (рис. 15)
.
Рис. 15. К определению полярного момента сопротивления Wp
дляполого толстостенного цилиндра
Деформация при кручении характеризуется углом закручивания на единицу длины стержня θ:
.
Величина θ называется относительным углом закручивания и имеет размерность рад/м.
Условие жесткости имеет вид
,
где G – модуль упругости материала при сдвиге, Па.
Зависимость между модулями упругости Е и G имеет вид
,
где μ – коэффициент Пуассона;
[θ] – допускаемый относительный угол закручивания на единицу длины стержня (рад/м).
Диаметр стержня, работающего на кручение, определяется из двух условий: прочности и жесткости. Во внимание берется наибольший диаметр. Окончательное значение его принимается согласно стандарту.
Пример 4
Определить диаметры поперечных сечений участков стержня (вала) (рис. 16, а), если [τK] = 100 МПа, G = 80 ГПа, [θ] = 1,5о/м. Построить эпюру углов поворота сечений φ.
[θ] = 1,5о/м = 
рад/м.
|
|
|
Рис.16. Построение эпюр крутящих моментов М к
и углов поворота сечений φ:
а – расчетная схема; б – эпюра крутящих моментов М к;
в – эпюра углов поворота сечений φ
Должно выполняться условие равновесия ∑ mx = 0:
∑ mx = m 1 – m 2 – m 3 + m 4 = 2 – 1 – 4 + 3 = 0.
Для определения крутящих моментов М к на участках стержня будем рассматривать левую часть его.
Участок I: М KI = m 1 = 2 кН·м.
Участок II: М KII = m 1 – m 2 = 2 – 1 = 1 кН·м.
Значение М КIII определите самостоятельно (М КIII = – 3 кН·м).
По вычисленным значениям М к строится эпюра (см. рис. 16, б).
Преобразуем условия прочности и жесткости к виду, удобному для определения диаметра стержня.
Условие прочности:
, 
.
Условие жесткости:
,
откуда
.
Вычисляем диаметр вала из условий прочности и жесткости.
На первом участке:
– диаметр вала из условия прочности
;
– диаметр вала из условия жесткости
.
Принимаем d 1 = 6 см.
На втором участке:
– диаметр вала из условия прочности
;
– диаметр вала из условия жесткости
.
Принимаем d 2 = 5 см.
Диаметр поперечного сечения на участке III рассчитайте самостоятельно (d 3 = 5,35 см, d’ 3 = 6,18 см, принимаем d 3 = 7 см).
Если стержень имеет постоянное сечение, то диаметр его определяется исходя из максимального значения М к.
Определим деформации участков стержня:
.
Значения φ на других участках следующие:
.
Углы поворота характерных сечений (границ участков) равны:
;
.
Значение φ D определите самостоятельно (φ D = – 0,429о).
Эпюра углов поворота сечений показана на рис. 16, в.
Вычислим максимальные напряжения на участках стержня:
Вычисленные значения диаметров участков стержня обеспечивают его прочность и жесткость.
