2015-04-01
1094
Пример 1. Доказать тождество 
Доказательство. Преобразуем левую часть тождества:
По формулам 
Поэтому 
Итак, тождество доказано. При этом 
и 
т.е. 
и 
а, значит, 
Кроме того, 
т.е. 
откуда 
или 
Таким образом, приходим к выводу, что тождество выполняется при 
Пример 2. Доказать тождество 
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель выражения, содержащегося в левой части тождества:
Далее используя формулу 
получаем:
Доказанное тождество выполняется при 
т.е. при 
и 
(множество 
всех чисел вида 
содержится в множестве 
всех чисел вида 
).
Пример 3. Упростить выражение 
Решение. 
Пример 4. Вычислить 
Решение. Пусть 
Тогда 
и 
Более того, так как 
то 
Для вычисления 
воспользуемся формулой 
Из нее следует, что 
Таким образом, необходимо сначала найти 
Так как 
и ясно, что 
то 
Так как в интервале 
то 
Итак 
и так как 
а в этом интервале синус принимает только положительные значения, то 
Таким образом 
Пример 5. Вычислить 
Решение. Положим 
Тогда 
и 
Но 
Таким образом, 
Итак 
Замечание. Ясно, что равенство 
ложно.
Действительно, по определению значения косинуса принадлежат отрезку 
Значение же 
этому отрезку не принадлежит.
