Примеры линейных пространств

1. Обозначим — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями и . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим — множество матриц-столбцов размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец . Следовательно, множество является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество столбцов размеров с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

4. Обозначим — множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где — действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество решений неоднородной системы , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента ( не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим — множество матриц размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество является линейным пространством.

6. Обозначим — множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество многочленов степени не выше, чем , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим — множество действительных функций, определенных и непрерывных на . Сумма функций и произведение функции на действительное число определяются равенствами:

для всех

Эти операции действительно определены на , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства для любого . По этому , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции выполняется равенство , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора будет функция . Тогда (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 — из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: для любого , т.е. . Таким образом, рассматриваемое множество с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что — множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго.и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим — множество тригонометрических двучленов (часто ты ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида , где . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как ). Поэтому множество с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен , тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим — множество действительных функций, определенных на множестве , с операциями:

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество может быть выбрано произвольно. В частности, если , то — упорядоченный набор чисел , где Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров , т.е. множество совпадает с множеством (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если (напомним, что — множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство — множество числовых последовательностей . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

9. Обозначим — множество положительных действительных чисел, в котором сумма и произведение (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число — как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как , т.е. . Противоположным для вектором является вектор , который определен, так как . В самом деле, . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть — вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на линейных скалярных функций, т.е. функций , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:

(аддитивность);

(однородность).

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведение определяются равенствами:

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству и обозначается . Его элементы называют ковекторами.

Например, множество линейных форм переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству .

43. База і базис. Основна властивість базису. Вопрос 12,

Базис

Теория:
Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.
В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса:
1.Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
2.Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.
3.Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).
4.Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.

Разложение вектора по базису
Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости -- двумерным векторным пространством, в пространстве -- трехмерным векторным пространством.
Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор
Векторы d,f,g на рисунке являются линейными комбинациями векторов a,b,c:,,,.

Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам если b является линейной комбинацией этих векторов.
Если то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде , где -- число.
Доказательство. В соответствии с определением умножения вектора на число если b имеет направление, противоположное a, и в противном случае.
Таким образом,

Полезные ресурсы: