2015-04-01
1212
Пусть на отрезке [ a, b ] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
y ¢ = g (x, y), (5.4.1)
y (x 0) = y 0, (5.4.2)
где y 0 – заданное число.
Зададим на отрезке [ a, b ] равномерную сетку
h x = { xi / xi = xi – 1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x 0 = a, xm = b }, (5.4.3)
где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки; h – шаг сетки.
В соответствии с методом Рунге – Кутта четвертого порядка будем строить приближенное решение j h (x) задачи (5.3.1) - (5.3.2) по правилу:
(5.4.4)
где
(5.4.5)
В отличие от рассмотренных ранее разностных методов Эйлера и Адамса, в методе (5.4.4), (5.4.5) вычисления осуществляются не только в узлах сетки h x, но и в промежуточных точках.
Результаты вычислений методом Рунге – Кутта удобно записывать
в таблицу, аналогичную табл. 5.4.1.
Таблица 5.4.1
| j | x | y | K = hg (x, y) | a K |
| x 0 | j h (x 0) | 
|
| |
| x 0 + (h /2) | j h (x 0) + 
| 
| 2
| |
| x 0 + (h /2) | j h(x0)+ 
| 
| 2
| |
| x 0 + h | j h (x 0) +
| 
|
| |
| j h (x 1) = j h (x 0) + Dj h (x 0) | Djh(x0) | |||
| x 1 | j h (x 1) | 
|
| |
| x 1 + (h /2) | j h (x 1) + 
| 
| 2
| |
| x 1 + (h /2) | j h (x 1) + 
| 
| 2
| |
| x 1 + h | j h (x 1) +
| 
|
| |
| j h (x 2) = j h (x 1) + Dj h (x 1) | Dj h (x 1) | |||
| … | … | … | … | … |
В заключение сделаем несколько замечаний относительно метода Рунге - Кутта.
|
|
|
1. Относится к семейству методов Рунге - Кутта четвертого порядка. (Более подробно с методами Рунге - Кутта можно ознакомиться в литературе по вычислительной математике.)
2. Метод сходится на отрезке [ a, b ] в соответствии с определением и имеет четвертый порядок точности.
3. Относительно большое количество вычислений, необходимых для определения приближенных значений искомой функции в каждом узле сетки h x, при использовании метода (5.1.4), (5.1.5) компенсируется возможностью достижения необходимой точности в точке b при достаточно большом шаге h, что уменьшает количество узлов сетки.
4. Метод может быть легко адаптирован к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему из двух уравнений
с начальными условиями
Будем искать решение поставленной задачи Коши на отрезке [ a, b ], задав на нем равномерную сетку h x с шагом h.
Пусть функции j h , y (x)» y (x) и j h , z (x)» z (x) представляют собой приближенное решение задачи. Тогда метод Рунге - Кутта перепишется в виде
где
Ky ,1 j = h g 1(xj,jh,y (xj), j h,z (xj)),
Kz ,1 j = h g 2(xj,j h,y (xj), j h,z (xj)),
Ky, 2 j = h g 1(xj + h /2, j h , y (xj) + Ky, 1 j /2, j h,z (xj) + Kz, 1 j /2),
Kz ,2 j = h g 2(xj + h /2, j h , y (xj) + Ky, 1 j /2, j h , z (xj) + Kz, 1 j /2),
Ky ,3 j = h g 1(xj + h /2, j h,y(xj)+Ky,2j/2,jh,z(xj)+Kz,2j/2),
Kz ,3 j = h g 2(xj + h /2, j h,y(xj)+Ky,2j/2,jhz(xj)+Kz,2j/2),
Ky ,4 j = h g 1(xj + h, j h,y (xj) + Ky,3j,jh,z(xj)+Kz,3j),
Kz ,4 j = h g2(xj+h,jh,y(xj)+Ky,3j,jh,z(xj)+Kz,3j),
j = 0, 1, 2, …, m - 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: учеб. пособие / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков: под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк., 2000. – 190 с.
|
|
|
2. Бахвалов, Н.С. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 8-е изд. - М., СПб.: Физматлит, 2000. - 624 с.: ил.
3. Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование
/ Ю.П. Боглаев. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.
4. Воробьева, Г.Н. Практикум по численной математике: учеб. пособие для сред. спец. учеб. завед. / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – 2-е изд, перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1990. – 208 с.
5. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение: пер.
с англ. / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. – 2-е изд., стеореотип. – М.: Мир, 2001. – 575 с.: ил.
6. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В. Копченова, И.А. Марон. – М.: Наука, 1972 [и послед. издания]. - 368 с.
7. Самарский, А.А. Численные методы: учеб. пособие для вузов
/ А.А. Самарский, А.В. Гулин. – М.: Наука, 1989. – 432 с.
8. Середа, А.-В.И. Методы оптимизации: учеб.-метод. пособие: в 2 ч. Ч. 2. Нелинейное программирование. – Мурманск: Изд-во МГТУ, 1992. – 90 с.
[1] Здесь под экстремумом понимается только минимум функции.
[2] Если множество X замкнуто, то дополнительно вычисляются и значения функции f (x)
в граничных точках множества.
[3] Как и в гл. 1, под экстремумом здесь понимается только минимум функции.
