2015-04-01
440
Пусть на отрезке [ a, b ] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
y ¢ = g (x, y), (5.2.1)
y (x 0) = y 0, (5.2.2)
где y 0 – заданное число.
Зададим на отрезке [ a, b ] равномерную сетку
h x = { xi / xi = xi – 1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x 0 = a, xm = b }, (5.2.3)
где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки h x; h – шаг сетки.
Приближенное решение j h (x) задачи (5.2.1) - (5.2.2) будем строить по правилу
(5.2.4)
Организация вычислений при реализации метода Эйлера предельно проста. Промежуточные результаты удобно размещать в таблице, аналогичной табл. 5.2.1.
Таблица 5.2.1
| k | xk | j h (xk) = j h (xk – 1) + hg (xk – 1, j h (xk – 1)) | g (xk, j h (xk)) |
| x 0 | j h (x 0) (берется из начальных условий) | g (x 0, j h (x 0)) | |
| x 1 | j h (x 1) = j h (x 0) + hg (x 0,j h (x 0)) | g (x 1, j h (x 1)) | |
| x 2 | j h (x 2) = j h (x 1) + hg (x 1, j h (x 1)) | g (x 2, j h (x 2)) | |
| … | … | ||
| m – 1 | xm – 1 | j h (xm – 1) = j h (xm – 2) + hg (xm – 2, j h (xm – 2)) | g (xm – 1, j h (xm –- 1)) |
| m | xm | j h (xm) = j h (xm – 1) + hg (xm – 1, j h (xm – 1)) |
В заключение сделаем несколько замечаний относительно метода Эйлера (5.2.4).
1. Рассмотренный метод является явным одношаговым разностным. Это один из наиболее простых численных методов решения задачи Коши.
|
|
|
2. Сходится на отрезке [ a, b ] в соответствии с определением и имеет первый порядок точности.
3. Ввиду невысокой точности редко используется для решения реальных задач. Существуют модификации метода, позволяющие повысить точность получаемых результатов.
4. Легко адаптируется к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему из двух уравнений
с начальными условиями
Как и ранее, будем искать решение поставленной задачи Коши на отрезке [ a, b ], задав на нем равномерную сетку h x с шагом h.
Пусть функции j h y (x)» y (x) и j h z (x)» z (x) обозначают приближенное решение задачи, тогда метод Эйлера запишется в виде
