2015-04-01
4225
Пусть на отрезке [ a, b ] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
y ¢ = g (x, y), (5.3.1)
y (x 0) = y 0, (5.3.2)
где y 0 – заданное число.
Зададим на отрезке [ a, b ] равномерную сетку
h x = { xi / xi = xi – 1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x 0 = a, xm = b }, (5.3.3)
где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки h x; h – шаг сетки.
Введем обозначения
j h , k:= j h (xk); gk:=g (xk, j h (xk)). (5.3.4)
Явный 4-шаговый метод Адамса может быть представлен следующим образом. Положим jh (x 0): = y 0 и вычислим значение g 0. Далее предположим, что значения g 1, g 2, g 3 уже известны. Приближенное решение j h (x) задачи (5.3.1), (5.3.2) будем строить по правилу
j h , k + 1 = j h , k + (h /1224)[55 gk – 59 gk – 1 + 37 gk – 2 – 9 gk – 3],
k = 3, 4, …, m – 1. (5.3.5)
Отметим, что для определения g 1, g 2, g 3 необходимо знать значения j h (x 1), j h (x 2), j h (x 3), которые могут быть найдены предварительно с помощью любого другого численного метода либо заданы в результате каких-либо измерений.
Метод (5.3.5) называется 4-шаговым, поскольку для вычисления функции j h (xk) необходимо знать ее значения в четырех предыдущих узлах сетки h x.
|
|
|
Результаты вычислений методом (5.3.5) удобно записывать в таблицу, аналогичную табл. 5.3.1.
Таблица 5.3.1
| k | xk | j h , k = j h (xk – 1) + (h /1224)[55 gk – 1 – 59 gk – 2 + 37 gk – 3 -9 gk – 4] | gk = g (x k, j h (xk)) |
| x 0 | j h , 0 = y 0 берется из начальных условий | g 0 = g (x 0, j h (x 0)) | |
| x 1 | j h , 1 определяется другим методом | g 1 = g (x 1, j h (x 1)) | |
| x 2 | j h , 2 определяется другим методом | g 2 = g (x 2, j h (x 2)) | |
| x 3 | j h , 3 определяется другим методом | g 3 = g (x 3, j h (x 3)) | |
| x 4 | j h , 4 = j h (x 3) + (h /1224)[55 g 3 – 59 g 2 + 37 g 1 – 9 g 0] | g 4 = g (x 4, j h (x 4)) | |
| … | … | … | … |
| m – 1 | xm – 1 | j h , m – 1 = j h (xm – 2) + (h /1224)[55 gm – 2 – 59 gm – 3 + + 37 gm – 4 – 9 gm – 5] | gm – 1 = g (xm – 1, j h(xm – 1)) |
| m | xm | j h , m = j h (xm – 1) + (h /1224)[55 gm – 1 – 59 gm – 2 + + 37 gm – 3 – 9 gm – 4] |
В заключение сделаем несколько замечаний относительно метода Адамса.
1. Это явный 4-шаговый разностный метод, который, так же как и
метод Эйлера, является явным многошаговым. (Более подробное описание многошаговых разностных методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка приведено в литературе по вычислительной математике.)
2. Метод (5.3.5) является сходящимся на отрезке [ a, b ] в соответствии с определением и имеет четвертый порядок точности.
3. В отличие от одношагового метода Эйлера метод Адамса требует для начала работы предварительного определения значений искомой функции еще в трех узлах сетки h x, что является в определенном смысле его недостатком. На практике эта дополнительная информация может быть получена либо с помощью других численных методов (методов Эйлера, Рунге – Кутта), либо с помощью измерений иного характера.
|
|
|
4. Метод Адамса может быть легко адаптирован применительно
к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему из двух уравнений
с начальными условиями
y (x 0) = y 0, z (x 0) = z 0.
Как и ранее, будем искать решение поставленной задачи Коши на отрезке [ a, b ], задав на нем равномерную сетку h x с шагом h.
Пусть функции j h , y (x)» y (x) и j h , z (x)» z (x) представляют собой приближенное решение задачи. Введем обозначения
j h , y , k:= j h , y (xk); g 1, k:=g 1(xk, j h , y (xk),j h , z (xk)),
j h , z , k:= j h , y , z (xk); g 2, k:=g 2(xk, j h , y (xk),j h , z (xk)).
Тогда метод Адамса перепишется в виде:
Положивм j h , y (x 0): = y 0, j h , z (x 0): = z 0, вычислим значения g 1, 0 и g 2, 0.
Предположим, что уже известны значения g 1, 1, g 1, 2, g 1, 3, g 2, 1, g 2, 2, g 2, 3.
Значения j h , y (xk), j h , z (xk) "строим" по правилу:
j h , y , k + 1 = j h , y,k + (h /24)[55 g 1, k – 59 g 1, k -1 + 37 g 1, k -2 – 9 g 1, k -3], k = 3,4,…, m -1
j h , z , k + 1 = j h , z,k + (h /24)[55 g 2, k – 59 g 2, k -1 + 37 g 2, k -2 – 9 g 2, k -3], k = 3,4,…, m -1
