2015-04-01
679
Переменная Х называется случайной величиной по отношению к данному испытанию, если в результате испытания она принимает одно из своих возможных числовых значений, но какое именно, до испытания неизвестно.
Случайные величины принято обозначать большими буквами латинского алфавита, например, X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами – x, y, z.
Функция F (x) действительной переменной x, -∞< x <∞, определяемая формулой
F (x) = P (X < x),
называется функцией распределения случайной величины Х.
Свойства функциираспределения:
1) 0≤ F (x) ≤1, -∞< x <∞;
2) F (-∞) =0, F (+∞) =1;
3) F (x) - неубывающая функция на всей оси;
4) F (x) непрерывна слева, т.е. 
.
Различают случайные величины дискретного типа (ДСВ) и случайные величины непрерывного типа (НСВ).
Случайная величина Х называется дискретной случайной величиной, если множество ее возможных значений есть числовая последовательность (конечная или бесконечная).
Распределением дискретной случайной величиной называется функция, областью определения которой являются все возможные значения рассматриваемой величины, а областью значений - вероятности соответствующих значений. Распределение ДСВ удобно представлять в виде таблицы:
|
|
|
| Возможные значения | x 1 | x 2 | x 3 | …. | xn |
| Вероятности | p 1 | p 2 | p 3 | …. | pn |
Здесь pi = P (X = xi), 
(условие нормировки).
Случайная величина Х называется непрерывной случайной величиной, если ее возможные значения заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный) числовой оси.
Плотностью распределения НСВ Х называется функция f (x), которая определена при всех x, -∞< x <∞, и удовлетворяет условиям:
1) f (x) ≥0 во всей области определения;
2) 
.
Свойства плотности распределения НСВ:
1) Если f (x) -плотность распределения НСВ Х и F (x) – функция распределенияэтойслучайной величины, то
2) Еслиплотность распределения f (x) есть функция непрерывная при 
, то
3) 
(условие нормировки).
Числовые характеристики случайных величин
Математическим ожиданием случайной величины X называется действительное число M (X), определяемое в зависимости от типа случайной величины Х формулой:
Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых x и y имеет место равенство P (X < x, Y < y)= P (X < x) · P (Y < y).
Свойства математического ожидания:
1) M (C)= C, где C -const;
2) M (CX)= CM (X);
3) M (X ± Y)= M (X) ± M (Y), где Х и Y – любые случайные величины;
4) M (X·Y)= M (X) · M (Y), если Х и Y –независимые случайные величины.
Дисперсией случайной величины Х называется неотрицательное число D (X), определяемое в зависимости от типа случайной величины Х формулой:
Свойства дисперсии:
|
|
|
1) D (C) =0, где C - const;
2) D (CX)= C 2 D (X);
3) D (X ± Y)= D (X)+ D (Y), если Х и Y –независимые случайные величины.
Теорема. Дисперсия любой случайной величины Х равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания:
D (X) = M (X 2) - M 2 (X)
Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m, σ (σ > 0), если ее плотность определяется формулой:
, 
.
Задание 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
| xi | -1 | ||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
Найти M (X), M (3 X +4), D (X), D (4 X - 5).
Решение.
1) По определению математического ожидания:
.
2) По свойствам математического ожидания:
.
3) По теореме о вычислении дисперсии:
.
4) По свойствам дисперсии:
.
Задание 2. Для НСВ Х задана функция распределения:
Найти A, f (x), M (X), M (3 X -2), D (X), D (2 X +4), P (X <5), P (X >1), P (-1< X <3).
Решение.
1) По свойству плотности распределения:
Воспользуемся теперь условием нормировки: 
. Имеем: 
, следовательно, 
.
2) Тогда плотность распределения случайной величины Х:
3) По определению математического ожидания:
.
4) По свойствам математического ожидания:
.
5) По теореме о вычислении дисперсии:
.
6) По свойствам дисперсии:
.
7) По определению плотности распределения:
.
8) Аналогично:
.
9) И, наконец,
.
