Повторение испытаний. Формула Бернулли. Асимптотические формулы

Пусть по отношению к событию А проводится n испытаний. Введем события: А_k – событие А осуществилось при k -том испытании, k =1,2,…, n. Тогда - противоположное событие (событие А неосуществилось при k -том испытании, k =1,2,…, n).

Испытания называются однотипными по отношению к событию А, если вероятности событий А ₁, А ₂, …, А_n совпадают: Р (А ₁)= Р (А₂)= …= Р (А _n) (т.е. вероятность появления события А в одном испытании постоянна во всех испытаниях). Очевидно, что в этом случае вероятности противоположных событий также совпадают: .

Испытания называются независимыми по отношению к событию А, если события А ₁, А ₂, …, А_n независимы. В этом случае

При этом равенство сохраняется при замене любого события А_k на .

Пусть по отношению к событию А проводится серия из n однотипных независимых испытаний. Ведем обозначения: р – вероятность осуществления события А в одном испытании; q – вероятность противоположного события. Таким образом, Р (А_к)= р, для любого k и p + q =1.

Вероятность того, что в серии из n однотипных независимых испытаний событие А осуществится ровно k раз (0≤ k ≤ n), вычисляется по формуле:

(14)

Равенство (14) называется формулой Бернулли.

Вероятность того, что в серии из n однотипных независимых испытаний событие А осуществится не менее k ₁раз и не более k ₂раз, вычисляется по формуле:

(15)

Применение формулы Бернулли при больших значениях n приводит к громоздким вычислениям, поэтому в этих случаях лучше использовать другие формулы – асимптотические.

Формула Пуассона

Если число испытаний n велико, а вероятность осуществления события в одном испытании р мала, то вместо формулы Бернулли используют приближенную формулу Пуассона:

(16)

Здесь - среднее число появлений события в n испытаниях. Формула Пуассона дает хорошее приближение для формулы Бернулли при .

Аналог формулы (15) имеет:

(17)

Формулы Муавра-Лапласа

Если число испытаний n велико, а вероятность осуществления события в одном испытании р не слишком мала (так что ), то формула Пуассона дает значительную погрешность. В этом случае используют другую приближенную формулу – локальную формулу Муавра-Лапласа:

, (18)

где и . Значения функции можно найти в специальных таблицах, которые приведены в литературе по теории вероятностей. Отметим, что функция является четной, поэтому таблицы ее значений приведены только для .

Аналог формулы (15) в данном случае имеет вид:

, (19)

где и - функция Лапласа. Формула (19) носит название интегральной формулы Муавра-Лапласа. Значения функции Лапласа также приведены в специальных таблицах. Отметим, что часто таблицы составлены для функции и необходимо учитывать формулу связи: . Функция является нечетной, поэтому таблицы ее значений приведены только для . Для функции справедливо равенство: .

Задание 7. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна0,4. Найти вероятность того, что из 6 сотрудников фирмы заболеют

1) ровно 4 сотрудника;

2) не более 4-х сотрудников.

Решение. 1) Очевидно, что для решения данной задачи применима формула Бернулли, где n =6; k =4; р =0,4; q =1- р =0,6. Применяя формулу (14), получим: .

2) Для решения данной задачи применима формула (15), где k ₁=0 и k ₂=4. Имеем:

Следует заметить, что эту задачу проще решать, используя противоположное событие – заболело более 4-х сотрудников. Тогда с учетом формулы (7) о вероятностях противоположных событий получим:

Задание 8. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено

1) ровно три изделия;

2) менее трех изделий.

Решение. 1) Поскольку вероятность р =0,002 повреждения изделия мала, а число изделий n =500 велико, и , можно воспользоваться формулой Пуассона. Применяя формулу (16) при k =3, получим: .

2) Для решения второй задачи применима формула (17), где k ₁=0 и k ₂=2. Имеем: .

Задание 9. К магистральному водопроводу подключены 160 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0,7 в данный момент осуществляет забор воды. Найти вероятность того, что в данный момент забор воды осуществляют

1) ровно 100 предприятий;

2) не менее 80 и не более 120 предприятий.

Решение. 1) В данном случае вероятность р =0,7 осуществления забора воды одним предприятием не мала, а число предприятий n =160 велико, и . Поэтому для решения задачи надо воспользоваться локальной формулой Муавра-Лапласа (18). Имеем: n =160; k =100; р =0,7; q = 0,3. Вычисляем значение x: и находим значение по таблице: . Тогда по формуле (18) получим:

.

2) Для решения второй задачи применима интегральная формула Муавра-Лапласа (19), где k ₁=80 и k ₂=100. Вычисляем значения x ₁ и x ₂:

; .

С учетом свойств функции Лапласа, перечисленных ранее, и таблиц значений функции Лапласа находим:

.

Тогда по формуле (19) получим: .