Формула полной вероятности. Формула Байеса. Система событий H1, H2, , Hn называется полной системой гипотез по отношению к данному испытанию, если эта системаявляется полной и несовместной по отношению

Система событий H ₁, H ₂, …, H_n называется полной системой гипотез по отношению к данному испытанию, если эта системаявляется полной и несовместной по отношению к данному испытанию. В силу теоремы 2 (формула (6)) .

Пусть система событий H ₁, H ₂, …, H_n является полной системой гипотез по отношению к данному испытанию. Тогда для любого события А по отношению к данному испытанию справедливы формулы:

(12)

(13)

Формула (12) называется формулой полной вероятности, формула (13) – формулой Байеса.

Задание 6. При разрыве бронебойного снаряда крупные осколки составляют 20% от общего числа осколков, средние – 30%, мелкие 50%. Вероятность того, что крупный осколок пробьет броню танка, равна 0,8. Для мелких и средних осколков эти вероятности соответственно равны 0,5 и 0,2.

1) Найти вероятность того, что осколок пробьет броню.

2) Броня танка оказалась пробитой. Найти вероятность того, что пробоина произошла от мелкого осколка.

Решение. 1) Введем события: А – броня танка пробита; H ₁ – осколок крупный; H ₂ – осколок средний; H ₃ – осколок мелкий.

События H ₁, H ₂, H ₃ образуют полную систему гипотез. Найдем их вероятности. По условию задачи 20% от общего числа осколков крупные, 30% – средние и 50% - мелкие. Следовательно, вероятности событий H ₁, H ₂, H ₃ таковы: P (H ₁)=0,2; P (H ₂)=0,3; P (H ₃)=0,5. Сделаем проверку: P (H ₁)+ P (H ₂)+ P (H ₃)=0,2+0,3+0,5=1.

Найдем условные вероятности события А при выбранных гипотезах. Имеем: P (А / H ₁)=0,8; P (А / H ₂)=0,5; P (А / H ₃)=0,2.

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности: .

2) Для решения второй части задачи воспользуемся формулой Байеса. Надо найти вероятность того, что пробоина в броне произошла от мелкого осколка, т.е. вероятность P(H ₃/ А). По формуле (13) имеем:

.