Интеграционная модель EOQ

Классическая модель EOQ Харриса-Уилсона позволяет определить оптимальный объем и периодичность размещения заказов на пополнения запасов для случая односкладских («изолированных») систем при условии детерминированного спроса.

Интеграционный подход при определении оптимального объема и периодичности размещения заказов на пополнения запасов в логистических системах заключается в следующем:

- оптимальная периодичность и объемы заказов сразу для звеньев системы рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать совокупные затраты в системе в целом;

- осуществляется координация материального потока между уровнями системы в процессе осуществления поставок по времени и объему за счет формирования кратных партий отправок (см. рис. 11.9).

Q_i – оптимальный размер заказа для i-ого уровня; t_i – оптимальная периодичность поставок для i-ого уровня

Рис. 11.9. Координация материального потока на примере трехуровневой системы размещения запасов линейной конфигурации

Попытка учета взаимосвязи между отдельными звеньями при управлении запасами в логистических системах сделана в работе Свена Аксатера [48], где на примере двухуровневой системы размещения запасов линейной конфигурации (рис. 11.10) были получены зависимости для определения оптимальной величины заказа, которые в работах [48; 59] называются «эшелонированной моделью EOQ (multi echelon EOQ)».

A_i – затраты на заказ для пополнения запасов i-ого уровня; h_i – затраты на содержание запаса i-ого уровня; d – плановая потребность (спрос) на готовую продукцию

Рис.11.10. Двухуровневая система запасов линейной конфигурации

Принцип работы эшелонированных моделей такой же, как и у классической модели оптимального размера заказа Харриса-Уилсона. Целевой функцией в моделях являются суммарные затраты, связанные с закупками и содержанием запасов. Искомые переменные – объемы заказов на пополнение запаса, при которых целевая функция минимизируется. Основное отличие эшелонированных моделей состоит в том, что рассматривается не одна, а несколько точек размещения запасов.

Основными условиями, определяющими возможность использования эшелонированных EOQ-моделей, являются следующие:

- детерминированная конечная потребность в материальных ресурсах (имеется в виду потребность в готовой продукции в сфере производства и / или распределения);

- постоянная и равномерно распределенная во времени интенсивность потребления у конечных потребителей;

- постоянное время выполнения заказа;

- фиксированные составляющие затрат на запасы.

В работе Свена Аксатера (Sven Axsäter) [48] основные расчетные формулы эшелонированной модели EOQ были получены с учетом следующих условий и ограничений:

1. Спрос на продукцию для уровня «1» детерминирован, равномерно распределен во времени и имеет постоянную интенсивность в течение всего рассматриваемого периода;

2. Затраты на заказ (A_i) и содержание запасов (h_i) неизменны в течение всего рассматриваемого периода времени.

3. Продукция на уровнях «1» и «2» является неделимой и одной единице изделия на уровне «1» соответствует одна единица изделия на уровне «2».

4. Между объемами заказов для уровней «1» и «2» системы установлено отношение:

, (11.1)

где k - некоторое целое положительное число (показатель кратности партий);

Q_oi – оптимальный размер запаса на i-м уровне системы.

5. В системе предполагается возможность мгновенной поставки заказа: в случае поступления заказа от звена системы на уровне «1» в размере Q_o1 часть запаса на уровне «2» в размере Q_o1 может быть сразу же отгружена клиенту на уровне «1», см. рис. 11.11. Таким образом средний запас на уровне «2» за цикл будет:

(11.2)

Рис. 11.11. Взаимосвязь уровней запасов изделий «1» и «2» при k = 3

Из рисунка 11.11 видно, что спрос на уровне «2» имеет ярко выраженный дискретный характер, что обусловлено координацией поставок на уровнях «1» и «2».

Рассмотрим порядок вывода расчетных формул эшелонированной модели EOQ с учетом описанных выше условий.

Затраты на заказ на уровне «1» составляют:

(11.3)

Затраты на хранение запаса на уровне «1»:

(11.4)

Учитывая то, что запасы на уровне «2» создаются исключительно для обеспечения потребления на уровне «1», а также принимая во внимание условия 3 и 5, затраты на заказ на уровне «2» можно представить следующим образом:

(11.5)

С учетом условия 6 затраты на хранение на уровне «2» составят:

(11.6)

Таким образом суммарные затраты, связанные с запасами, в системе (рис. 11.10) составят:

(11.7)

Функция суммарных затрат на запасы для случая двухуровневой системы линейной конфигурации (формула 11.7) – это выпуклая функция от двух переменных – Q₁ и k. Поэтому для нахождения значения Q₁ можновзять первую производную от выражения (11.7) по Q₁, приравнять ее к 0 и выразить искомый параметр:

(11.8)

В результате получим выражение для расчета оптимального размера заказа на уровне «1» системы:

(11.9)

Подставив выражение (11.9) в формулу общих затрат (11.7) вместо Q₁, получим выражение для расчета суммарных минимальных затрат:

(11.10)

Для нахождения коэффициента k в работе возьмем производную , приравняем ее к 0 и выразим искомый параметр [48]:

(11.11)

Таким образом получим выражение для расчета коэффициента k:

(11.12)

Поскольку k должно быть целочисленным, округление значения, полученного по формуле (11.12), осуществляют по следующему правилу [48]:

Если k` <1 (k`- это значение, найденное по формуле (24)), то k =1; если k` >1 и m≤ k` <m+1 (m – некоторое целое положительное число), то k =m при ; в противном случае k` =m+1.

Аналогично округление происходит и для значений Q_{opt I} [48]:

Если m≤ Q` <m+1, где m – некоторое целое положительное число, то то Q =m при ; в противном случае Q` =m+1.

Оптимальный размер заказа на уровне «2» вычисляется по формуле (11.1), в которую подставляются найденные по формулам (11.12) и (11.9) значения k и Q_opt1.

Пример 11.1:

Рассмотрим двухуровневую цепь поставок «оптовый склад» - «ритейлер». По данным ритейлера спрос на продукт «Х» составляет 40000 ед. в год. При этом затраты на размещение заказа для ритейлера составляют 100 у.е., а для оптовика – 200 у.е. Рассчитаем объемы оптимальных партий заказа для ритейлера и оптовика в 3-х случаях:

1. когда затраты на содержание запаса одинаковы для ритейлера и оптовика (h₁=h₂= 5 у.е.);

2. когда затраты на содержание запаса у оптовика выше, чем у ритейлера (5 у.е. и 2 у.е. за 1 продукции соответственно) - h₁<h₂;

3. когда затраты на содержание запаса у оптовика меньше, чем у ритейлера (2 у.е. и 5 у.е. за 1 продукции соответственно) - h₁˃h₂;

Прежде всего, по формуле (11.12) рассчитаем коэффициент k для каждого случая:

При h₁=h₂:

получается, что в этом случае запас на 2-м уровне (у оптовика) не хранится.

При h₁<h₂:

при таком соотношении определить коэффициент k с точки зрения математики вообще не возможно.

При h₁˃h₂:

Следовательно, для варианта h₁˃h₂ можно рассчитать значения Q_opt1 и Q_opt2 по формулам (11.9) и (11.1) соответственно:

Рассчитаем также суммарные минимальные затраты (формула (11.10)):

Как показали проведенные нами расчеты (см. пример 11.1), возможность применения зависимостей, предложенных Свеном Аксатером в работе [48], ограничена условием: h₂ < h₁, то есть затраты на хранение на втором уровне (центральный склад) должны быть всегда ниже затрат на складах первого уровня (региональные склады). Данное утверждение базируется на том, что затраты на хранение традиционно определяются как процент от стоимости продукции, а стоимость продукции на региональных складах увеличивается за счет дополнительных затрат на транспортировку и грузообработку:

, (11.13)

где С – цена продукции;

Δ С – добавленная стоимость;

f - процент от цены продукции, приходящийся на затраты по хранению.

В тоже время неравенство (11.13) не всегда справедливо, поскольку склады на разных уровнях логистических систем могут быть по-разному оснащены, система расчета тарифа на складские услуги может быть разной, что может привести к ситуации, когда h₂ ≥ h₁.

Анализ формулы (11.12) эшелонированной модели EOQ, рассматриваемой в работе [48], показывает, что:

- если h₂ > h₁, то коэффициент k становится комплексным числом (при расчетах получается квадратный корень из отрицательного числа);

- если h₂ = h₁, то коэффициент k = 0, и зависимость для Q_o2 теряет смысл;

- если k≤1, то запас на 2-м уровне не хранится.

Чтобы преодолеть эти ограничения можно ввести дополнительное условие о том, что в случае поступления заказа от звена системы на уровне «1» в размере Q_o1 часть запаса на уровне «2» в размере Q_o1 не отгружается клиенту на уровне «1» сразу, а подлежит хранению в течение первого цикла. Таким образом для обозначения кратности объемов заказов используется уже множитель (k+1). В результате произойдет корректировка расчетных формул (см. табл. 11.2 – вариант ИНЖЭКОНа). Графически различие между двумя рассматриваемыми моделями показано на рис. 11.12.

Таблица 11.2

Параметры интеграционной модели EOQ для двухуровневого размещения запасов (Вариант ИНЖЭКОНа)

Параметр	Расчетная формула
Оптимальный размер заказа для уровня «1»
Оптимальный размер заказа для уровня «2»
Параметр кратности партий
Суммарные минимальные затраты в системе

Рис. 11.12. Альтернативные подходы к описанию процесса расходования запасов

Пример 11.2:

Рассмотрим цепь поставок «оптовый склад» - «ритейлер» с теми же параметрами, что и в примере 11.1, но расчеты будем осуществлять уже с использованием формул из табл. 11.2 (вариант ИНЖЭКОНа).

рассчитаем коэффициент k для каждого случая:

при h₁=h₂:

тогда

при h₁<h₂:

тогда

при h₁˃h₂:

тогда

Проведенные нами расчеты показали, что для модели с (k+1) характерны следующие ограничения:

- если h₁<h₂ и A₁=A₂, либо A₁<A₂ менее чем в 2 раза, то k =1.

- практически всегда при h₁<h₂ и A₁>A₂ k =1.

Если проанализировать ограничения двух моделей (модели Аксатера и модели ИНЖЭКОНа), то можно сделать вывод о том, что модели дополняют друг-друга.

Также было установлено, что при больших значениях k (k≥3) результаты значений Q_i и С_∑, полученные с использованием моделей с (k-1) и (k+1) становятся очень близкими (см. рис. 11.13 и 11.14). Однако больших значений k можно добиться лишь при большой разнице в затратах на заказ и хранение между складами уровней «1» и «2», например, разница между затратами на хранение должна составлять 9 и более раз!

Рис. 11.13. Сходимость значений Q₁ в моделях с (k-1) и (k+1) при различных значениях k

Рис. 11.14. Сходимость значений С_∑ в моделях с (k-1) и (k+1) при различных значениях k

Для оценки эффекта от интеграции при управлении запасами в двухуровневой системе линейной конфигурации сопоставим расчеты расчетов по формулам из табл. 11.2 со случаем, когда решения в области управления запасами на уровне «1» и «2» не координировались (см. табл. 11.3).

Таблица 11.3

Случай независимого принятия решений в сфере управления запасами на уровнях «1» и «2» (нескоординированная модель)

Параметр	Формулы для расчета
Оптимальный размер заказа для уровня «1»
Оптимальный размер заказа для уровня «2»
Параметр кратности партий
Суммарные минимальные затраты в системе - C∑min для случая немгновенной отгрузки

Суть нескоординированной модели заключается в следующем: звено системы на уровне «1» рассчитывает объем заказа на пополнение своего запаса по классической формуле Харриса-Уилсона, ориентируясь только на свои локальные затраты; звено на уровне «2» подстраивается под запросы, поступающие от звена на уровне «1», заказывая всегда объем запаса k·Q_o1.

В таблице 11.4 приведены результаты расчетов параметров модели EOQ для случая двухуровневой системы размещения запасов линейной конфигурации при координированном и нескоординированном вариантах с использованием эшелонированной модели EOQ в формулировке ИНЖЭКОНа.

Таблица 11.4

Результаты вычислений для случая двухуровневой системы

Дано	Вариант 1	Вариант 2
Спрос на продукцию (d)
Затраты на заказ для уровня «1» (A1)
Затраты на заказ для уровня «2» (A2)
Затраты на хранение для уровня «1» (h1)
Затраты на хранение для уровня «2» (h2)
Расчетные показатели при интегрированном управлении
Параметр кратности партий - k
Qopt1
Qopt2
C∑инт
Расчетные показатели при «изолированном» управлении
Q1
Q2
C∑изол
Экономический эффект по затратам
(C∑изол - C∑инт)/ C∑изол	15,2%	6,22%

Проведенные нами вычисления показали, что эффект от интеграции может составлять от 6% до 15% в зависимости от соотношения затрат на хранение и заказ в системе.

В тоже время представляет интерес оценка того, как меняются индивидуальные значения затрат для уровней «1» и «2» в случае интегрированного и независимого принятия решений в сфере управления запасами. Результаты расчетов приведены в таблице 11.5.

Таблица 11.5

Значения затрат для уровней 1 и 2 в случае интегрированного и независимого принятия решений в сфере управления запасами

Исходные данные	различные варианты сочетания затрат
Спрос на продукцию (d)
Затраты на заказ для уровня «1» (A1)
Затраты на заказ для уровня «2» (A2)
Затраты на хранение для уровня «1» (h1)			4,5	3,3	3,3
Затраты на хранение для уровня «2» (h2)
C1 координ в модели с (k-1)	259,46	Не возможно	317,88	296,82	370,90
С1 некоординир в модели с (k-1)	244,95	244,95	300,00	256,91	363,32
C1 координ в модели с (k+1)	249,75	360,50	318,52	269,49	382,00
С1 некоординир в модели с (k+1)	244,95	244,95	300,00	256,91	363,32
C2 координ в модели с (k-1)	86,96	Не возможно	106,38	148,15	74,07
С2 некоординир в модели с (k-1)	121,95	243,90	149,25	256,41	90,91
C2 координ в модели с (k+1)	350,25	888,50	317,88	431,94	365,00
С2 некоординир в модели с (k+1)	367,95	1227,90	350,25	490,41	420,91

Результаты расчетов (табл. 11.5) показывают, что в случае интегрированного управления запасами для двухуровневой системы линейной конфигурации суммарные затраты ниже, чем в случае нескоординированного принятия решений. Однако при координации происходит увеличение затрат для одного из звеньев по сравнению с нескоординированным вариантом; в нашем примере увеличение затрат произошло для звена первого уровня.

Результаты проведенных расчетов подтверждают логистический принцип «глобальной оптимизации», который подразумевает согласование локальных целей функционирования звеньев логистических систем и минимизацию совокупных издержек системы в противовес локальной оптимизации. Получается, что локальная оптимизация приводит к худшим результатам в плане затрат для системы в целом. При «глобальной оптимизации» совокупные издержки системы снижаются, но при этом могут увеличиться локальные затраты одного из звеньев. Последнее позволяет сделать вывод о том, что интегрированное управление запасами эффективно для случая корпоративных сетевых бизнес-структур в большей степени, чем для независимых компаний. В случае независимых компаний один из участников обязательно проиграет от интеграции, если, конечно, не будет предусмотрен механизм перераспределения эффекта, когда «выигравшая» от интеграции компания передает часть образовавшегося от экономии на издержках дохода в пользу «проигравшей» стороны.