2015-04-01
407
|
Физическая система состоит из бесконечного линейно распределенного заряда и созданного им поля. Решим задачу двумя методами. Применим сначала теорему Гаусса. В силу симметрии вектор напряженности в любой точке нормален цилиндрической поверхности, проходящей через эту точку и имеющей ось симметрии, совпадающую с нитью. Поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем цилиндр длиной 
с осью симметрии, совпадающей с нитью, боковая поверхность которого проходит через точку А (рис.7). Поток вектора 
через торцы цилиндра равен нулю, через боковую поверхность 
. Полный заряд, расположенный внутри цилиндра, 
. С учетом этого по теореме Гаусса будем иметь
откуда 
(27)
|
Теперь применим принцип суперпозиции. Разделим нить на столь малые элементы 
, чтобы заряд 
, находящийся на каждом таком элементе, можно было считать точечным. Выберем один из элементов (рис.8). В точке А он создает напряженность:
(28)
где r - расстояние от выбранного элемента до точки А.
Разложим вектор 
на нормальную 
и тангенциальную 
составляющие. Из рис.8 видно, что
|
|
|
(29)
. (30)
Поскольку положение выбранного точечного заряда на нити определяется углом 
, возьмем угол в качестве переменной интегрирования. В связи с этим выразим входящие в (29) и (30) величины 
и r через r o и .
Из треугольника АDВ находим 
Из треугольника ВСО следует 
, так как 
.
Подставив найденные значения в уравнения (29) и (30), получим
(31)
(32)
Интегрируя (31) и (32) в пределах от - 
до + будем иметь
.
Таким образом, окончательно 
что совпадает с выражением, полученным с помощью теоремы Гаусса.
Нетрудно видеть, что в данном случае вычисления по принципу суперпозиции оказались более трудоемкими, чем при использовании теоремы Гаусса. Однако существуют задачи, в которых все наоборот.
