Расчёт линейных электрических цепей с несинусоидальными периодическими источниками питания распадается на три этапа:
а) Разложение периодических несинусоидальных функций времени (ЭДС и токов источников тока) в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье представляет собой ортогональную многомерную систему координат:
где A 0 – постоянная составляющая, B km и C km – амплитуды синусной и косинусной гармонических составляющих:
, , .
Первая гармоническая составляющая с циклической частотой ω (при k =1) и периодом T самой несинусоидальной функции называется основной гармоникой, а гармоники, начиная со второй и выше, – высшими гармоническими составляющими.
б) Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений на элементах цепи для постоянной составляющей и для каждой из гармонических составляющих в отдельности. Расчет токов и напряжений для каждой гармонической составляющей проводят комплексным методом. При этом необходимо помнить, что индуктивное и емкостное сопротивления для различных гармоник изменяются. Индуктивное сопротивление с ростом частоты увеличивается, а емкостное уменьшается. Индуктивное и емкостное сопротивления k -той гармонической составляющей:
, .
Недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных гармонических составляющих.
в) Получение итоговых результатов по результатам расчета для постоянной и отдельных гармонических составляющих. Результатами расчетов, как правило, являются мгновенные и действующие значения токов и напряжений, а также активная и полная мощности элементов электрической цепи.
Мгновенные значения токов и напряжений получают как сумму мгновенных значений постоянной и гармонических составляющих, например:
.
Действующие значения токов и напряжений получают согласно тождеству Парсеваля (аналог теоремы Пифагора для многомерного ортогонального пространства):
,
.
Активная мощность элемента электрической цепи равна сумме активных мощностей постоянной и гармонических составляющих
, где
Полная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока элемента электрической цепи
.
3.2 Примеры расчета электрических цепей с несинусоидальными ЭДС и токами
Задача 3.2.1 В электрической цепи (см. рисунок 3.1) заданы мгновенные значения несинусоидальной ЭДС , значение источника постоянной ЭДС E 0=50 В, активное R =100 Ом и реактивные сопротивления для первой гармоники: , , .
Рисунок 3.1 – Схема электрической цепи
Требуется определить: действующие и мгновенные значения токов в ветвях схемы, действующее и мгновенные значения напряжения на емкости.
Решение.
Расчёт постоянных составляющих токов и напряжения на емкости:
I 20=0, так как при u C(t) = const;
;
, так как и .
Расчёт составляющих токов и напряжения на емкости для первой гармоники:
;
комплексное сопротивление участка «1-2» цепи
(резонанс токов на 1-ой гармонике);
, ;
Расчёт для второй гармоники:
;
;
(резонанс напряжений на 2-ой гармонике);
согласно первому закону Кирхгофа ;
.
Расчёт действующих значений токов и напряжения на емкости:
Мгновенные значения токов и напряжения на конденсаторе u C(t):
Задача 3.2.2 В электрической цепи (см. рисунок 3.2) задано:
; ; ;
.
Рисунок 3.2 – Схема электрической цепи
Требуется:
1) определить емкости конденсаторов С 1 и С 2 такие, чтобы ток в резисторе R 2 был равен нулю. Причем емкость конденсатора С 1 должна быть меньше чем С 2;
2) рассчитать показание амперметра электромагнитной системы (т.е. действующее значение тока в индуктивности L 1);
3) рассчитать активную P ист., реактивную Q ист., и полную S ист. мощности источника.
Решение.
1) Определим емкости С 1 и С 2.
На 1-ой гармонике должен быть резонанс напряжений в контуре L 2 C 2, а на 2-ой гармонике – резонанс токов в контуре L 1 C 1. Индуктивность L 3 шунтирует резистор R 2 на постоянном токе. В результате получим ток в резисторе R 2, равный нулю.
Определим реактивные индуктивные сопротивления на 1-ой и 2-ой гармониках:
;
2) Определим ток в индуктивности на всех гармониках :
Для постоянной составляющей:
.
Для первой гармоники: так как ;
;
Для второй гармоники: , так как .
,
.
Действующее значение тока в индуктивности :
.
3) Рассчитаем мощности источника:
;
, где
Задача 3.2.3 В электрической цепи (см. рисунок 3.3) задано:
;
.
Рисунок 3.3 – Схема электрической цепи
Определить:
1) мгновенные и действующие значения токов i 1, i 2, i 3 и напряжения на конденсаторе u c;
2) мощность, выделяемую в сопротивлении R 1.
Решение.
Постоянные составляющие:
.
На основной и 2 -ой гармониках цепь содержит один источник e 1(t).
(резонанс токов), тогда .
Для 2-ой гармоники сопротивление третьей ветви равно нулю:
тогда .
.
Находим мгновенные и действующие значения токов и напряжения на конденсаторе:
Задача 3.2.4 При подаче на вход некоторого пассивного двухполюсника несинусоидального напряжения были измерены действующее значение входного тока I = 5 A, а также активная P = 40 Вт и реактивная мощности Q = 30 вар, потребляемые двухполюсником. После этого эксперимент был повторен при действии другого входного напряжения, в котором был сохранен прежний гармонический состав, а также амплитуды и начальные фазы гармоник, но частота основной гармоники была удвоена по сравнению с первым экспериментом. При этом оказалось, что действующее значение тока, активная и реактивная мощности сохранили прежние значения.
Требуется записать аналитические выражения мгновенных значений тока двухполюсника, как для первого, так и для второго экспериментов, если известно, что начальные фазы различных гармоник тока могут отличаться только на угол, не достигающий 90°. Что можно сказать о внутренней схеме двухполюсника для объяснения полученных результатов?
Решение.
В первом эксперименте ток может содержать первую и вторую гармоники: ,
а во втором – вторую и четвертую гармоники:
.
При этом вторая гармоника одинакова в обоих случаях. Тогда можно составить выражения для активной и реактивной мощностей и действующего значения тока в обоих экспериментах:
Вт; (3.1)
вар; (3.2)
А 2; (3.3)
Вт; (3.4)
вар; (3.5)
А 2. (3.6)
Из уравнений (3.3) и (3.6) видно, что . Также из сравнения выражений (3.1) с (3.4) и (3.2) с (3.5) видно, что .
Далее, используя выражения (3.1) и (3.2) (или (3.4) и (3.5)), составим сумму откуда после сокращения на 10 получим:
, или
.
Так как , то получим .
Отсюда имеем три варианта: либо , либо , либо . В последнем случае , что противоречит условию задачи о том, что сдвиг фаз не должен достигать 90°. Поэтому остаются только два варианта: (в этом случае также ), либо .
Оба эти варианта удовлетворяют условию задачи, поэтому имеем два решения:
- в случае как для первого, так и для второго экспериментов имеем
А,
- в случае имеем для первого эксперимента
А,
- для второго эксперимента
А.
Полученный результат можно объяснить тем, что в первом случае схема двухполюсника содержит два последовательно соединенных параллельных LC -контура резонанса токов, настроенных на первую и четвертую гармоники, а во втором случае – один такой контур, настроенный на вторую гармонику.
Задача 3.2.5 В электрической цепи (см. рисунок 3.4) задано:
Рисунок 3.4 – Схема электрической цепи
Требуется определить:
1) емкость конденсатора, при которой цепь будет находиться в режиме резонанса на 2 -ой гармонике;
2) показания приборов в этом режиме.
Решение.
Расчет постоянной составляющей.
, так как в ветви находится конденсатор,
,
Расчет второй гармоники.
Приведем два варианта расчета емкости:
1-ый вариант.
Определим проводимости второй и третьей ветвей по условию резонанса Im{ Y 2+ Y 3}=0.
Запишем уравнение для проводимости второй ветви. Умножим дробь на сопряженное знаменателю выражение и выделим действительную и мнимую части. Рассчитываем значение емкости конденсатора.
;
;
;
.
2-ой вариант.
Запишем эквивалентное сопротивление для исходной схемы. Преобразуем и выделим действительную и мнимую части.
.
По условию резонанса:
, ;
.
Для дальнейших расчетов схему удобно представить в преобразованном виде. Эквивалентная преобразованная схема приведена на рисунке 3.5.
Рисунок 3.5 – Эквивалентная схема электрической цепи
Активные сопротивления эквивалентной схемы:
,
Ток и активная мощность источника на 2-ой гармонике:
.
Реактивная мощность источника равна нулю, так как на второй гармонике схема находится в режиме резонанса (Im{ Y вх}=0) .
Напряжение второй гармоники на участке 2-3 схемы:
.
Токи во второй и третьей ветвях найдем по исходной схеме:
Активная мощность нагрузки на второй гармонике:
.
Баланс активных мощностей источника и нагрузки на второй гармонике выполняется: .
Рисунок 3.6 – Векторная диаграмма цепи на второй гармонике
Определим показания приборов.
Показание ваттметра:
Показание амперметра:
.
Показание вольтметра:
.