Пример 1.4

На автомоечной станции трое рабочих обслуживают машины по следующему режиму: если все трое рабочих свободны, то очередную прибывшую машину они начинают обслуживать вместе. По прибытию очередной машины один из рабочих переключается на новый объект. Если каждый рабочий обслуживает отдельную машину, то очередной прибывший автомобиль получает отказ. В среднем машины подъезжают каждые 8 минут, один рабочий моет одну машину в среднем 20 минут. Определить: средний заработок рабочего в день(8 часов), если стоимость обслуживания одной машины равна 1000 тенге, а на зарплату идет 10%.

Данная СМО — со взаимопомощью с отказами.

Основные характеристики СМО

маш/мин, маш/мин,

За 8 часов через станцию проходит в среднем 6*8=48 машин, на одного рабочего приходится 16 машин, следовательно, его средний заработок составляет 16*100*0.1=1600 тенге.

1.13 Замкнутые СМО

Рассмотрим случай, когда количество заявок, обслуживаемых системой, ограничено. Например, процесс восстановления единиц оборудования ремонтными бригадами. Каждая единица оборудования работает в среднем после чего выходит из строя. Тогда интенсивность выхода из строя единицы оборудования (мы считаем, что время безотказной работы оборудования распределено по показательному закону). После ремонта единица оборудования вновь поступает на вход системы с интенсивностью (может снова выйти из строя).

Если в некоторый момент времени ремонтируются или ожидают ремонта n единиц оборудования, а работают m - n, то вероятность отказа в течение равна — интенсивность прихода заявок в систему зависит от количества уже находящихся в системе заявок.

Построим граф переходов для замкнутой СМО с одним каналом обслуживания и m заявками.

Рисунок 1.11 – Граф переходов

Используя схему гибели и размножений, построим уравнения вероятностей состояний

или ,

Абсолютная пропускная способность А для данной СМО — среднее количество неисправностей, устраняемых каналом обслуживания в единицу времени, и

где — вероятность занятости канала, или

Среднее число неисправных станков

Попробуем найти более простой способ вычисления . В среднем заявок находится в рабочем состоянии, поток неисправностей . Все эти неисправности устраняются каналом обслуживания: . Тогда

Среднее число заявок, находящихся в очереди

В замкнутых системах количество заявок всегда ограничено, и независимо от интенсивности канала обслуживания существует установившийся режим. Когда коэффициент занятости канала близок к единице, возникает явление «скученности». В этом случае основная масса заявок сосредоточивается в накопителе и канале обслуживания СМО, и малая доля заявок находится вне системы.